积分的总结 第1篇
定义： 给定区间[a,b]上的函数f(x)，F(x)在区间[a,b]上处处可微，其导数为f(x)，则称F(x)为f(x)的原函数，表示为 F'(x)=f(x)\tag{1} 由于F(x)+C的微分结果都为f(x)可知，一个函数有无穷多个元函数，可以通过如下图所示平移函数曲线得到。
存在性：每个定义在区间内连续函数都有一个原函数。如果有间断点，如下图所示，可以将区间划分为多个子区间保证函数是连续的。
不定积分：给定函数的不定积分为原函数集，如下： F(x)+C = \int f(x)dx\tag{2} 其中\int为积分符号，x为积分变量，C为积分常数。
一些常见常见函数积分如下图所示。
任意初等函数的积分通常不为初等函数。在一些特殊情况，需要使用一些技巧，通过时间可以总结一些积分经验。目前，计算积分通常交给计算机来完成。
常量因子积分(Integrand with a Constant Factor)： \int \alpha f(x)dx = \alpha \int f(x)dx \tag{3} 和差积分： \int (u+v-w)dx = \int udx+\int v dx - \int w dx \tag{4} 变换积分：复杂的积分可以通过代数或三角变化称简单的积分，如下 \int \sin2x \cos x dx =\int \frac{1}{2}(\sin 3x + \sin x)dx \tag{5} 参数中的线性变换：
重要的不定积分的计算准则如下表所示：
幂次和对数积分：
替换方法：
偏积分(Partial Integration):
非初等积分之表值(Table of Values)：具有特殊理论或实践重要性但不能用初等函数表示的积分可以用数值表给出。 此类特殊函数通常具有特殊名称。例子是：
非初等积分之级数展开：利用被积函数的级数展开，如果一致收敛，则可以逐项积分。
非初等积分之级数图积分：是第三种近似方法。
多项式函数积分：
分式有理函数积分：
All Roots of the Denominator are Real and Single：
例子如下：
All Roots of the Denominator are Real, Some of them with a Higher Multiplicity：
Some Roots of the Denominator are Single Complex：
Some Roots of the Denominator are Complex with a Higher Multiplicity：
替换转化成有理函数积分：
积分R(x,\sqrt{x^2+\alpha^2})dx可以转化为下述三种形式：
因为二次多项式ax^2+bx+c可以写成和或差的两个平方的形式，进而利用下表内容进行替换。
二项积分：theorem of Chebyshev 说明只有满足下面三种情况，可以表示成初等函数的形式。
不定椭圆积分：
定椭圆积分：
替换方法：
简化方法：
积分的总结 第2篇
积分的概念可以用不同的方式概括。普通定积分的域是数值轴上的一个区间，而对于线积分，积分域是平面或空间曲线的一段。曲线，即积分路径也可以闭合；它也称为电路积分，它给出函数沿曲线的循环。有第一类、第二类或一般类型的不同线积分。
定义：
计算方法：
第一类线积分应用：如下图所示。
定义：
计算方法：
定义：
性质：
封闭曲线积分：
二维情况：
三维情况：
Determination of the Primitive Function：二维情况
Determination of the Primitive Function：三维情况
积分的总结 第3篇
前面介绍了微分的基础知识，可参考：
其在优化算法(基于梯度优化)设计扮演极其重要的角色，可参考：
本节介绍其逆过程，即积分。积分在参数估计中极其重要，特别是xxx斯全公式对应归一化分母项，实际计算都很复杂，这也是通常工程中采用最大后验方法，而很少利用xxx斯估计方法的主要原因。可以参考如下：
中式(14)，直观感受下积分的复杂程度。
定积分与不定积分：积分代表微分的逆操作，微分是给定f(x)求f'(x)，而积分是给定f'(x)求f(x)，由于积分解不唯一，因此引出不定积分的概念。
定积分：求解曲线y=f(x)下方的面积，通过小矩形近似的方法计算，就有了定积分的概念。如下图
积分的总结 第4篇
定积分定义：可以理解为给定函数图形在实线上两点之间所围成的平面中区域的有符号面积。通常，平面水平轴上方的区域为正，而下方的区域为负。积分也指反导数的概念，一个函数的导数是给定的函数；在这种情况下，它们也称为不定积分。微积分基本定理将定积分与微分联系起来，并提供了一种在函数反导数已知的情况下计算函数定积分的方法；微分和积分是逆运算。
和极限定义：
存在性：[a, b] 上的连续函数的定积分总是有定义的，即极限 () 总是存在的，并且与数字 xi 和 ξi 的选择无关。同样对于在区间 [a, b] 上只有有限数量的不连续点的有界函数，存在定积分。在给定区间上存在定积分的函数称为该区间上的可积函数。
积分基本理论：
几何解释：曲线下面积，如下图所示。
符号准则：如下图所示。
Particular Integral：上界为变量，其积分值为函数，如下图所示。
Differentiation of the Definite Integral with Respect to the Upper Limit：
Decomposition of the Integration Interval：
重要的定积分性质如下表所示：
广义中值定理：
定积分估计：
主要方法：计算定积分的主要方法是根据积分学的基本定理，即不定积分的计算。在替换极限之前，必须检查是否存在不正确的积分。现在计算机代数系统可以用来分析确定不定积分和定积分。
变换计算定积分：在很多情况，定积分可以通过合适的变换来计算，如下：
复杂定积分计算方法：如果不定积分的确定过于困难和复杂，或者无法用初等函数来表达，那么在几种情况下确定积分的值还有一些更进一步的想法。这里提到了具有复杂变量的函数的积分或关于积分相对于参数微分的定理。
级数展开定积分计算方法：
图积分方法：
求积仪和积分器(Planimeter and Integraph):
数值积分：如果定积分的被积函数太复杂，或者相应的不定积分不能用初等函数表示，或者函数的值只能在离散点知道，例如从值表中，那么所谓的积分使用公式或其他数值数学方法。
定积分应用的一般原理：
几何应用之计算平面图面积：
几何应用之计算平面曲线长度：
几何应用之计算旋转体表面积:
几何应用之体积计算：
力学和物理学中应用：
惯性力矩：
Integrals with Infinite Integration Limits：
Geometrical Meaning of Integrals with Infinite Limits：
Integrals with Unbounded Integrand：
Geometrical Meaning：无界函数 ()、() 和 () 的积分的几何意义是找到有界图形的面积，例如，从一侧由垂直渐近线表示，如下所示。
参数积分定义：
Differentiation Under the Symbol of Integration：
Integration by Series Expansion, Special Non-Elementary Functions：即使被积函数是初等函数，也不总是可以用初等函数表示积分。在许多情况下，可以通过级数展开来表示这些非初等积分。
积分的总结 第5篇
通常意义上的积分都满足一些基本的性质。以下积分区域
的在xxx积分意义上表示一个区间，在xxx积分意义下表示一个可测集合。积分的性质有：线性性、保号性、极大值极小值、绝对连续性、绝对值积分等。
积分是线性的。如果一个函数f 可积，那么它乘以一个常数后仍然可积。如果函数f和g可积，那么它们的和与差也可积。
如果一个函数f在某个区间上xxx可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果fxxx可积并且几乎总是大于等于零，那么它的xxx积分也大于等于零。作为推论，如果两个
上的可积函数f和g相比，f（几乎）总是小于等于g，那么f的（xxx）积分也小于等于g的（xxx）积分。
如果xxx可积的非负函数f在
上的积分等于0，那么除了有限个点以外，f = 0。如果xxx可积的非负函数f在
上的积分等于0，那么f几乎处处为0。如果
中元素A的测度μ (A)等于0，那么任何可积函数在A上的积分等于0。
函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于xxx可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。对于xxx可积的函数，某个测度为0的集合上的函数值改变，不会影响它的积分值。如果两个函数几乎处处相同，那么它们的积分相同。如果对
中任意元素A，可积函数f在A上的积分总等于（大于等于）可积函数g在A上的积分，那么f几乎处处等于（大于等于）g。
积分的总结 第6篇
换元为
亦变为
，是因为其形式为xxx－xxx杰斯积分，但在xxx－xxx杰斯积分中变数的取值范围应该还是x的取值范围，而不是g(x)的取值范围。
来自： yanqued0q8bdz2 > 《数学》
0条评论
发表
请遵守用户 评论公约
——心彼心基础复习全书 04
在区间 I 上 ,函数 ()f x 的带有任意常数项的原函数称为 ()f x 在区间 I 上的不定积分 ,记作。(3) 初等函数在其连续区间上必有原函数 ,但初等函数的原函数并不都是初等函数 .(4) 有些初等函数的不定积...
第22讲：《不定积分基本概念、性质与基本计算法》内容小结、课件与典型例题与练习
一、原函数如果在区间。的一个原函数.【注】如果一个函数存在原函数，那么它有无穷多个原函数，而且其中任何两个原函数之间只相差一个常...
常用导数+积分公式
常用导数+积分公式1. 导数 导数基本公式。积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。设 是函数f(x)的一个原函数，我...
导数公式在积分中的重要作用
导数公式在积分中的重要作用。导数运算进行移项后可得到积分，体现出导数在积分中的重要作用。可以由一个导数的公式中的导数运算移项后...
0基础看懂微积分
0基础看懂微积分。有了这个公式，人们就开始研究起曲线各点的斜率了，比如一个很常见的函数y=x^2，人们就研究出来函数在点（1，1）处的...
体会定积分之美
体会定积分之美。定积分的正式名称是xxx积分。第一种，是单纯的积分，也就是已知导数求原函数，而若F(x)的导数是f(x)，那么F(x)+C（C是常数）的导数也是f(x)，也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)...
大学高等数学: 第三章第二讲不定积分换元积分法
由此定理可见，虽然∫f[φ(x)]φ''''''''(x)dx是一个整体的记号，但从形式上看，被积表达式中的dx也可...
考研＋每日一题（86）｜不定积分｜利用两次分部积分法，计算函数的积分
考研＋每日一题（86）｜不定积分｜利用两次分部积分法，计算函数的积分。计算该函数积分。两种不同类型函数的积分。我们可以考虑使用分...
打破芝诺龟的悖论，牛顿－xxx茨公式
不定积分与原函数是总体与个体的关系，若F(x)是f(x)的一个原函数，f(x)的不定积分就是一簇导数等于f(x)的原函数F(x)，即一个函数族{F(x)...
微信扫码，在手机上查看选中内容
微信扫码，在手机上查看选中内容
积分的总结 第7篇
常用积分方法包括梯形积分、xxx积分、自适应积分、xxx积分和xxx积分等；其中自适应积分、xxx积分和xxx积分属于高精度积分。
牛顿xxx（Newton-Cotes）积分公式： 包含了梯形法则、xxx法则、布尔法则等。
梯形法则积分计算公式：
其中， xxx： 梯形公式要计算两个点的函数值f(a)和f(b)。所以说是两点积分 梯形法则的误差为：
xxx法则分为xxx1/3法则和xxx3/8法则，就是用二次/三次插值曲线来代替直线进行积分。
xxx1/3法则法则积分计算公式：
xxx3/8法则法则积分计算公式：
布尔法则与xxx法则类似，只是更高阶的多项式积分，其公式为：
注意：1.对于3点积分与4点积分具有相同的误差阶；5点积分与6点积分具有相同的误差阶。对于点数更多的积分也一样。因此优先使用奇数个点的积分。 2.对于点数大于等于9的牛顿xxx积分，求积公式的稳定性得不到保证（具体原因可以找数值积分的数看看，本文源自《现代数值积分》第5章 数值积分与数值微分），积分不能保证收敛，因此实际计算中一般不采用高阶牛顿xxx积分公式。（处于效率考虑，一般也很少用超过5个点的牛顿xxx积分公式）。
牛顿xxx积分公式思想：根据积分点构造近似的插值多项式，进而利用多项式积分表示原积分。 对于高次的多项式插值，会出现龙格现象（对于高次的多项式插值，插值多项式会出现不收敛的现象，成为龙格现象，想深入了解可以去查询相关资料。并且次数越高，越容易出现不收敛现象）。
针对龙格现象，更好的选择切比雪夫节点来进行插值（想深入了解可以去查询相关资料，本文部分源自《现代数值积分》第3章 多项式插值与样条插值）。
由于切比雪夫节点的特殊性，对于高阶插值的可以收到较好的效果，因此，对于“牛顿xxx积分公式总结”中提到的点数大于等于9的牛顿xxx积分，可以采用切比雪夫计算节点，然后构造插值多项式，再计算积分（此方法实现和推广比较麻烦，此处不做扩展，感兴趣的可以自己下去推导实现）。
上述主要介绍的是单个区间的积分。为了计算更准确，我们可以将区间划分为若干个小的区间，然后对每个小区间进行积分，然后对各个小区间的积分求和。由于对于单个小区间的积分可分为梯形法则，xxx法则，和布尔法则，因此复合积分的每个小区间的积分可以是这些方法中的任意一种。 下面主要讲一下 复合梯形积分和复合xxx积分。
小区间的划分又分为等长区间和不等长区间两种划分方法。 不等长区间，复合梯形积分计算公式： 区间不等长情况应用场景很有限。
等长区间，复合梯形积分计算公式： 等长区间，复合梯形积分计算误差：
同样的，复合xxx积分区间的划分也可以分为等长区间和不等长区间两种划分方法。 由于不等长区间应用很少，因此直接介绍等长区间，复合xxx1/3积分计算公式：
等长区间，复合xxx1/3积分计算误差：
由于3点积分（xxx1/3积分）与4点积分（xxx3/8积分）具有相同的误差阶，因此一般优先使用复合xxx1/3积分，复合xxx3/8积分应用极少，因此本文不做介绍。感兴趣的同学可以下去自己推一下复合xxx3/8积分计算公式，应该也很简单。
可以看出，将区间划分为更小的区间可以有效的提高积分计算的精度。那么我们是不是可以将积分区间不断地细分，从而来得到更精确的积分结果？理论上是可以的！！
方法1：（区间折半法） a.计算2个区间的积分，用复合xxx1/3法则（当然，也可以用梯形法则或者布尔法则等都可以，但是推荐复合xxx1/3法则）; b.将两个区间等分为4个区间，用复合xxx1/3法则计算四个子区间的积分和； c.比较a和b两步计算的结果相对误差是否接近一个很小的数:(Ia - Ib)/Ib 方法2：改进方法1 a.对每个子区间一分为二后，比较两个区间的积分值与一个区间的积分值是否相近; b.如果相近则返回该值；否则对每个子区间执行a。（递归实现） 上面说，理论上是可以的！！理论上是可以的！！但是实际不行！！！ 因为计算机浮点数运算是存在误差的。当区间数量很大的时候，浮点数计算的舍入误差（不理解的可以自行去学习了解一下）变得很大，会限制积分的提高。下面就是一个很好的例子。 上述区间二分的思想是很有用的。在xxx积分和自适应积分中都会找到它的影子。 xxx积分的思想，及推导过程： 类推：联合两个误差为O(h^4)的积分，改进后可以得到一个误差为O(h ^ 6)的积分： 由此产生xxx积分： xxx积分是用梯形公式推导得到的，那么我们是不是可以用xxx公式做类似的推导，也能到达一套新的公式呢？答案是：理论上是可以的！！ 由xxx1/3公式推导出来的加入误差修正的积分计算式： 那么问题就来了。 我们的计算机表达的double值是有范围的，而对于xxx外，采用递归，递归8次就是16^8 = 2 ^ 32。计算机递归计算的结果很容易就产生溢出了。除非采用多精度浮点数计算才行，而采用多精度浮点数可能存在一些计算效率的问题。。。更深入的问题我就不继续深入探讨了（有兴趣的可以试试）。。。好了，总之来说，用xxx推导出来的方法不是很实用。还是梯形xxx积分经典好使。 xxx积分中有两点： a。每次都会将所有的步长折半；（那么我们能不能只对计算误差较大的那个区间进行折半成两个子区间再积分呢？） b。xxx公式推导的方法，由于计算机double表示范围有限没用上。 下面都会在自适应积分中派上用场。自适应积分思想：（递归方法） xxxp1.xxx1/3法则计算区间[a,b]的积分； xxxp2.区间步长折半，复合xxx1/3法则计算区间[a,b]的积分； 如果两次误差小于给定的误差限，停止执行，返回计算结果 ； 如果两次误差大于给定的误差限，对两个子区间分别执行xxxp1和xxxp2。 伪代码： xxx积分应用比较广泛的是xxx-勒让德公式，此外还有xxx-切比雪夫公式；以及区间【0，正无穷】的广义积分 xxx-拉盖尔公式；以及区间【负无穷，正无穷】的广义积分 xxx-埃尔米特公式。 介绍xxx积分的文档就很多了，本文不细讲推导的过程，给出计算方法： 多点xxx-勒让德公式： xxx勒让德公式的区间为【-1，1】.对于任意区间为【a，b】；需要做一下简单的变量代换， xxx勒让德公式的区间为【-1，1】，误差： 对于任意区间为【a，b】，误差： 由上式继续往下推导，可以得出，当区间长度【b-a】> 2(n+1)时，误差会发散。因此对于xxx点为n的xxx积分，积分区间长度不要大于2(n+1)，否则积分结果很可能会不准确。 此外，xxx积分的误差还与被积函数的光顺性有关，被积函数光顺性越差，误差越大。详细可参考《现代数值计算》第5章 数值积分与数值微分，P139页）。 xxx积分的优点：xxx积分时给定节点数下代数精度最高的求积公式。 xxx积分的不足：xxx积分每次改变积分点的个数，所以的积分点的函数值都需要重新计算。 xxx点为切比雪夫节点。 （未完待续。。。） 有第一类、第二类和一般类型的不同表面积分，类似于三种不同的线积分。 定义： Explicit Representation of the Surface： Parametric Representation of the Surface： Elementary Regions of Curved Surfaces： Applications of the Surface Integral of the First Type： Notion of an Oriented Surface：一个表面通常有两个侧面，可以任意选择其中一个作为外部。如果外侧是固定的，则称为定向面。无法定义两侧的曲面不在此处讨论。 Projection of an Oriented Surface onto a Coordinate Plane： Definition of the Surface Integral of the Second Type over a Projection onto a Coordinate Plane： Surface Given in Explicit Form： Surface Integral in General Form： 表面积分性质： 实例：积分的总结 第8篇