大学力学总结 第1篇
质点 E_{k}=\frac{1}{2}mv^{2}=\frac{1}{2}\bm p\cdot\bm v=\frac{p^{2}}{2m}
质点系 E_{k}=\sum_{i}\frac{1}{2}m_{i}v_{i}^{2}=E_{kC}+E_{k}^{'} , E_{kC}=\frac{1}{2}m_{0}v_{c}^{2} , E_{k}^{'}=\sum_{i}{\frac{1}{2}}m_{i}v_{i}^{'2}
式中 m_{0} 为质点系总质量; C 表示质心;“ ' ”号表示相对质心的速度或动能。
E_{k}=\frac{p^{2}}{2m_{0}} , p 为质点系总动量。
定轴刚体 E_{k}=\sum_{i}{\frac{1}{2}m_{i}v_{i}^{2}}=\frac{1}{2}J\omega^{2} = \frac{1}{2}\bm L\cdot \bm \omega=\frac{\bm L^{2}}{2J}
力的功 W=\int_{\bm r_{a}}^{\bm r_{b}}\bm F\cdot d\bm r
力矩的功 W=\int_{\varphi_{1}}^{\varphi_{2}}Md\varphi
保守力：做功只与物体起点和终点的位置有关，与物体所通过的路径无关的力叫做保守力 , 例如重力、万有引力、弹力、静电力等。
W=\int_{a(L_{1})}^{b}\bm F\cdot d\bm r=\int_{a(L_{2})}^{b}\bm F\cdot d\bm r 或 \oint_{L}\bm F\cdot d\bm r=0
非保守力：做功不但与物体起点、终点的位置有关还与物体所通过的路径有关的力叫做非保守力，例如磁力、摩擦力等。
W=\int_{a(L_{1})}^{b}\bm F\cdot d\bm r\ne\int_{a(L_{2})}^{b}\bm F\cdot d\bm r 或 \oint_{L}\bm F\cdot d\bm r\ne0
势能：是由与其相关的保守力做功来定义的，保守力做功等于其相关势能增量的负值
W=- \Delta E_{p}
而保守力等于其相关势能函数梯度的负值：
\bm F=-gradE_{p}
重力势能 E_{p}=mgh
弹性势能 E_{p}=\frac{1}{2}kx^{2}
引力势能 E_{p}=-\frac{GmM}{r}
机械能： E=E_{k}+E_{p}
以质点为研究对象，合力对质点所做的功等于质点动能的增量：
W=\Delta E_{k}
以质点系为研究对象，质点系内所有质点所受外力和内力做功的代数和等于质点系总动能的增量：
W_{in}+W_{on}=\Delta E_{k}
以刚体为研究对象，对定轴的外力矩所做的功的代数和等于刚体转动动能的增量：
W_{on}=\Delta E_{k}
质点系所受外力的功和非保守内力的功的代数和等于系统机械能的增量：
W_{外}+W_{非保内}=\Delta E
条件 W_{外}+W_{非保内}=0 结论 E=constant
普通物理力学部分知识点和公式已经整理完了，以后有时间再整理电磁学、热学、光学等其他部分。
大学力学总结 第2篇
（1）位置矢量，从参考点指向质点的有向线段： \bm r=\bm r(t)
（2）位移，从质点初位置指向末位置的有向线段： \Delta\bm r=\bm r_{2}-\bm r_{1}=x\bm i+y\bm j+z\bm k
（3）速度，位矢的时间变化率， \bm v=\frac{d\bm r}{dt}=v_{x}\bm i+v_{y}\bm j+v_{z}\bm k
（4）加速度，速度的时间变化率， \bm a=\frac{d\bm v}{dt}=\frac{d^{2}\bm r}{dt}=a_{x}\bm i+a_{y}\bm j+a_{z}\bm k
\bm a=\sqrt{\bm a_{t}^{2}+\bm a_{n}^{2}}
①切向加速度： \bm a_{t}=\frac{ dv}{dt}\bm e_{t}
②法向加速度： \bm a_{n}=\frac{v^{2}}{\rho}\bm e_{n} , \rho 为曲率半径
（1）角位置： \theta=\theta(t) , s=R\theta
（2）角位移： \Delta\theta=\theta_{2}-\theta_{1} ， \Delta\theta=R\Delta\theta
（3）角速度： \omega=\frac{d\theta}{dt} , \bm v=\bm\omega\times \bm r ,
角速度为矢量，速度等于角速度与半径的向量积
（4）角加速度： \beta=\frac{d\omega}{dt} , a_{t}=R\beta , a_{n}=\frac{v^{2}}{R}
①变速直线运动：
\bm v=\bm v_{0}+ \int_{0}^{t}\bm adt
\bm x=\bm x_{0}+\int_{0}^{t}\bm vdt
\bm v^{2}-\bm v_{0}^{2}=2\int_{\bm x_{0}}^{\bm x}\bm adt
②匀变速直线运动：
\bm v=\bm v_{0}+\bm at
\bm x-\bm x_{0}=\bm v_{0}t+\frac{1}{2}\bm at^{2}
\bm v^{2}-\bm v_{0}^{2}=2\bm a(\bm x-\bm x_{0})
③变速率圆周运动：
\omega=\omega_{0}+\int_{0}^{t}\beta dt
\theta=\theta_{0}+\int_{0}^{t}\omega dt
\omega^{2}-\omega_{0}^{2}=2\int_{\theta_{0}}^{\theta}\beta d\theta
④匀变速率圆周运动：
\omega=\omega_{0}+\beta t
\theta-\theta_{0}=\omega_{0}t+\frac{1}{2}\beta t^{2}
\omega^{2}- \omega_{0}^{2}=2\beta（\theta-\theta_{0}）
⑤抛体运动：
加速度 \bm a_{x}=0 , \bm a_{y}=-\bm g
分速度 \bm v_{x}=\bm v_{0}cos\theta , \bm v_{y}=\bm v_{0}sin\theta-\bm gt
分位移 \bm x=\bm v_{0}cos\theta\cdot t , \bm y=\bm v_{0}sin\theta\cdot t-\frac{1}{2}\bm gt^{2}
运动轨迹 y=xtan\theta-\frac{gx^{2}}{v_{0}^{2}cos^{2}\theta} ,射高 Y=\frac{v_{0}^{2}sin^{2}\theta}{2g} ,射程 X=\frac{v_{0}^{2}sin2\theta}{g}
在低速条件下 ( v<
位置变换 \bm r_{po}=\bm r_{po^{'}}+\bm r_{o^{'}o}
位移变换 \Delta \bm r_{po}=\Delta \bm r_{po^{'}}+\Delta \bm r_{o^{'}o}
速度变换 \bm v_{po}=\bm v_{po^{'}}+\bm v_{o^{'}o}
加速度变换 \bm a_{po}=\bm a_{po^{'}}+\bm a_{o^{'}o}
大学力学总结 第3篇
泛函问题I[y(x)]=\int_a^bf(y,y',x)dx满足边界条件： \delta y(a)=\delta y(b)=0\\\delta y'(a)=\delta y'(b)=0 则此泛函问题的欧拉方程为： \frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}-\frac{\partial f}{\partial y}=0
多元函数的泛函问题 I[z(x,y)]=\int f(z,\frac{\partial z}{\partial x},\frac{\partial z}{\partial y},x,y)dxdy 满足边界条件 \delta z|_{\partial D}=0 ,
则此泛函问题的欧拉方程为： \frac{\partial }{\partial x}\frac{\partial f}{\partial z_x}+\frac{\partial }{\partial y}\frac{\partial f}{\partial z_y}-\frac{\partial f}{\partial z}=0
多个函数的泛函问题 I[\{y_\alpha (x)\}]=\int_a^bf(\{y_\alpha,y'_\alpha\},x)dx=0
此泛函问题的欧拉方程为： \frac{d}{dx}\{\frac{\partial f}{\partial y'_\alpha}\}-\frac{\partial f}{\partial y_\alpha}=0
欧拉拉格朗日方程的泛函问题： \delta I[L(\{q_\alpha,\dot q_\alpha\})]=\delta \int _a^bL(\{q_\alpha,\dot q_\alpha \})dt 为最小作用量原理，真实运动的泛函达到极值。
哈密顿正则方程的泛函问题： \delta I=\delta \int_a^b[\sum_\alpha q_\alpha p_\alpha-H(\{q_\alpha,p_\alpha\})]dt=0
大学力学总结 第4篇
约束方程 广义坐标 虚位移 虚功
虚功原理：在理想约束的条件下（约束力虚功和为零，摩擦力不是理想约束力），静力学主动力做虚功和为零，所以约束力做虚功和为零。
\sum_i \vec F_i\delta \vec r_i=\sum_\alpha \vec Q_\alpha \delta \vec q_\alpha =0 Q_\alpha=\sum_iF_i\frac{\partial \vec r_i}{\partial q_\alpha}
拉格朗日函数 L=T-V （只有保守力做功的情形），满足欧拉-拉格朗日方程 \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q_\alpha}-\frac{\partial L}{\partial q_\alpha}=0
广义能量 P_\alpha =\frac{\partial L}{\partial \dot q_\alpha} ，循环坐标满足 \frac{\partial L}{\partial q_\alpha}=0 ，即势能项与该广义坐标无关，保守力在此广义坐标上无作用。
拉格朗日关系 \frac{\partial \dot {\vec r_i}}{\partial \dot q_\alpha}=\frac{\partial \vec r_i}{\partial q_\alpha} , \frac{\partial \dot{\vec r_i}}{\partial q_\alpha}=\frac{d}{dt}\frac{\partial \vec r_i}{\partial q_\alpha}
在时空平移不变性（对称性）条件下， \frac{\partial L}{\partial t}=0 \frac{dH}{dt}=0 （机械能守恒）
哈密顿函数 H(\{q_\alpha\}\{\dot p_\alpha \})=\sum_\alpha p_\alpha \dot q_\alpha-L(\{q_\alpha\}\{\dot q_\alpha \})
L\Leftrightarrow L+\frac{df(\{q_\alpha \},t)}{dt}
在有势力 F(\vec r_i)=-\nabla V(r) 作用下，有心力满足角动量守恒 h=\rho^2\dot \theta ,也满足时间平移不变性（机械能守恒） \frac{dH}{dt}=0
E=\frac{1}{2}m\rho^2+\frac{1}{2}\frac{mh^2}{\rho^2}+V(\rho) ， V_{eff}=\frac{1}{2}\frac{mh^2}{\rho^2}+V(\rho) 为一维等效势能
\vec F(\rho)~V(\rho)\Leftrightarrow \rho (\theta)\Leftrightarrow \rho(t)~\theta(t) ，已知其一，可以计算出另外两个量，由此得到有心力运动的全部信息。
（由有心力运动的动能求出力的表达式） \vec F(\rho)=\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \rho}-\frac{\partial T}{\partial \rho}=-\frac{d V(\rho)}{d \rho} ，角动量守恒量不可以带入拉格朗日函数！！！
比内公式（力与轨迹的关系） F=-mh^2u^2(\frac{d^2u}{d\theta^2}+u),~u=\frac{1}{\rho}
开普勒三定律：1. \dot s=\frac{1}{2}h 2. \rho =\frac{P}{1+ecos\theta} ，由轨道信息可证明有心力为平方反比力 3. \frac{a^3}{T^2}=const ，由轨道信息 a-c=\frac{P}{1+e},~a+c=\frac{P}{1-e}\Rightarrow a=\frac{P}{1-e^2},~T=\frac{\pi ab}{h} 可证
平方反比力为有心力的条件下能量 E 与轨迹的关系： \rho=\frac{P}{1+ecos\theta} ，轨迹为圆锥曲线，只需要研究 e\sim E
e=\sqrt{\frac{2h^2}{k^2}E+1} ， e=0 为圆轨道， 0
圆轨道的稳定性讨论：
1. 在平衡位置处，位置矢量做小量展开（研究稳定性的常用方法），令 \rho=\rho_0+s(小量) ,
满足在平衡位置附近受力可以做xxx开一项： f(\rho)=f(\rho_0+s)=f(\rho_0)+f'(\rho_0)s ，
对有心力的运动表达式做xxx开一项： f(\rho)=\ddot \rho-\frac{h^2}{\rho^3}=\ddot s-\frac{h^2}{(\rho_0+s)^3}=\ddot s-\frac{h^2}{\rho_0^3}(1-3\frac{s}{\rho_0}) ，
两个式子取等号得到关于小量的振动方程： \ddot s+(3\frac{h^2}{\rho_0^4}-f'(\rho_0))\cdot s=0
令小量振动的频率为： \omega^2=\frac{3h^2}{\rho_0^4}-f'(\rho_0) ， \omega^2 的正负决定圆轨道是否稳定。
2. 等效势能分析： \delta V_{eff}(\rho)=0 是圆轨道存在的条件（受力平衡）， \delta^2V_{eff}>0 为圆轨道稳定的条件。
解振动方程，注意小量的xxx开保留二阶小量（L函数中不应该出现一阶小量）
小振动的一般方程： \{-\omega^2M+V\}C=0 ，其中 M,V 是实对称矩阵。
Molecular Vabribiens
3N个自由度，有6个约束方程 \begin{cases}\sum_{i=1}^Nm_i\dot{\vec r_i}=0\\ \sum_{i=1}^N\vec r\times m_i\vec r_i=0 (角动量守恒)\end{cases}
根据分子的形状进行自由度（平动+旋转）的讨论。
(\vec e'_1,\vec e'_2,\vec e'_3)本体坐标架=(\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3)空间坐标架A(有3个自由度的实对称矩阵)
x'=Ax 满足 ||x||=||x'||\rightarrow A^TA=E,~|A^T-E|=0 E 为 A 的特征值矩阵，xxx SO(3) 群
Infinitesinal Rotation
A=I+\epsilon ，无限小矩阵是对称可以交换的，次序是无意义的。（不相邻无限小矩阵是可以交换的，相邻有限小矩阵是不可交换的）
\dot{\vec r}=\dot{\Omega}\times \vec r
刚体的角速度与基点的选择无关。
新的方向的本体坐标架，计算得到的转动惯量张量，相当于对原座标架的张量做合同变换，故存在某种合同变换生成对角化的转动惯量张量。
刚体的主轴： (I_1,I_2,I_3)
刚体定点转动动能： T=\frac{1}{2}I_1\omega_1^2+\frac{1}{2}I_2\omega_2^2+\frac{1}{2}I_3\omega_3^2=\frac{1}{2}\vec J\cdot \vec \omega
刚体角动量： \vec J=(I_1\omega_1,I_2\omega_2,I_3\omega_3)
刚体角速度： (\omega_1,\omega_2,\omega_3)
欧拉方程： \begin{cases}\vec M_1=I_1\dot \omega_1+(I_2-I_3)\omega_2\omega_3\\\vec M_2=I_2\dot \omega_2+(I_3-I_1)\omega_3\omega_1\\\vec M_3=I_3\dot \omega_3+(I_1-I_2)\omega_1\omega_2\end{cases} ， \dot{\vec L}=\vec M+\vec L\times \vec \omega
欧拉运动方程： \begin{cases}\omega_1=\dot \theta cos\psi+\dot\phi sin\theta\ sin\psi\\\omega_2=-\dot \theta sin\psi+\dot \psi sin\theta cos\psi\\\omega_3=\dot \phi cos\theta +\dot \psi\end{cases} ， (\theta,\phi,\psi) 分别表示章动角，进动角，自转角
无外力矩的作用下 T=Const,~|\vec J|=Const
讨论绕主轴做无力矩的定轴转动是否稳定？
\ddot \omega_1+\frac{(I_3-I_2)(I_3-I_1)\omega_1\omega_3^2}{I_1+I_2}=0,~\begin{cases}\omega_3=\omega_{3_0}+\omega'_3\\\omega_2=0+\omega'_2\\\omega_1=0+\omega'_1\end{cases} ，刚体至多有两个稳定轴（转动惯量最大的和最小的）
惯量椭球 \rho=\frac{\vec n}{\sqrt I}=\frac{\vec \omega}{\sqrt{2T}} ，\vec n 表示角动量的方向，在不受外力矩的作用下，角动量大小方向确定。
大学力学总结 第5篇
由Legendre变换导出关系： H(\{q_\alpha \},\{p_\alpha\})=\sum_\alpha q_\alpha p_\alpha-L(\{q_\alpha\},\{\dot q_\alpha \})
如果 H/L 不显含时间 t ，则运动满足机械能守恒且： \frac{dH}{dt}=-\frac{\partial L}{\partial t}=0
哈密顿正则方程： \begin{cases}\dot q_\alpha=\frac{\partial H}{\partial p_\alpha }\\p_\alpha =-\frac{\partial H}{\partial q_\alpha}\end{cases} （夹带私货：学过热力学中的麦克斯韦关系以后，发现麦克斯韦关系的导出也是运用的Legendre变换，且可以将内能、熵、体积、压强、温度等热力学函数与哈密顿量和广义坐标相互联系，也许会有有趣的发现）
哈密顿量的导出： \begin{cases}H=\sum_\alpha p_\alpha q_\alpha -L(量子)\\H=T+V(经典)\end{cases}
基本泊松括弧：
[q_\alpha,q_\beta]=[p_\alpha,p_\beta]=0
[q_\alpha ,p_\beta]=\delta_{\alpha\beta}
泊松括弧的性质：
[\phi,\psi]=\sum_\alpha \{ \frac{\partial \phi}{\partial q_\alpha}\frac{\partial \psi}{\partial p_\alpha}-\frac{\partial \psi}{\partial q_\alpha}\frac{\partial \phi}{\partial p_\alpha} \}
[\phi,C]=0
[\phi,\psi]=-[\psi,\phi] 自反性， [\phi,\phi]=0 ，对于运动如果H不显含t可以导出 \dot H=\frac{\partial H}{\partial t}+[H,H]
[\phi,C_1\psi+C_2\psi]=C_1[\phi,\psi]+C_2[\phi,\psi]
[\phi,\psi_1\psi_2]=\psi_1[\phi,\psi_2]+[\phi,\psi_1]\psi_2
\frac{\partial}{\partial t}[\phi,\psi]=[\frac{\partial \phi}{\partial t},\psi]+[\phi,\frac{\partial \psi}{\partial t}]
只对于经典关系成立： [\phi,f(\psi)]=\frac{\partial f}{\partial \psi}[\phi,\psi]
雅可比恒等式： [\phi,[\psi,\theta]]+[\theta,[\phi,\psi]]+[\phi,[\psi,\theta]]=0
泊松定理：守恒量中 \frac{d\phi}{dt}=0,\frac{d\psi}{dt}=0 \Rightarrow\frac{d}{dt}[\phi,\psi]
大学力学总结 第6篇
质心是由质点系质量分布决定的一个几何点： r_{c}=\frac{\int rdm}{\int dm}
动量，质点 \bm p=m\bm v
质点系 \bm p=\sum_{i}{m_{i}\bm v_{i}}=m_{0}\bm v_{c} , \bm v_{c} 为质心速度
冲量，用来描述力对时间的累积效应
质点 \bm I=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\bm F(t)dt
质点系 \bm I_{on}=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\bm F_{on}dt , \bm I_{on} 为外力的冲量
质点系中内力的冲量不能改变质点系的总动量，只能影响总动量在质点系内的分配。
\bm F=m\bm a
\bm F_{on}=\sum_{i}{\bm F_{ion}}=\frac{d\bm p}{dt}=m_{0}\bm a_{c} ， \bm F_{on} 为合外力。
质心的运动只取决于质点系所受外力，与质点系的内力无关。
质点 \bm I=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\bm F(t)dt=\bar{\bm F}\Delta t=\Delta \bm p
质点系 \bm I_{on}=\int_{t_{1}}^{t_{2}}\bm F_{on}dt=\Delta \bm p
条件： \bm F_{on}=\sum_{i}{\bm F_{ion}}=0
结论： p=\sum_{i}p_{i}=constant
大学力学总结 第7篇
定义方刚体上每个质元(质点、线元、面元、体积元)的质量与该质元到转轴距离平方之积的总和。
刚体对定轴 z 轴的转动惯量： J_{z}=\iiint_{\Omega}(x^{2}+y^{2})\rho(x,y,z)dxdydz
刚体对定轴 y 轴的转动惯量： J_{y}=\iiint_{\Omega}(z^{2}+x^{2})\rho(x,y,z)dxdydz
刚体对定轴 x 轴的转动惯量： J_{x}=\iiint_{\Omega}(y^{2}+z^{2})\rho(x,y,z)dxdydz
常见刚体的转动惯量①转轴过中心垂直于棒 J=\frac{1}{12}ml^{2}
②转轴过端点垂直于棒 J=\frac{1}{3}ml^{2}
③圆盘绕中心轴线 J=\frac{1}{2}mR^{2}
④薄圆环绕中心轴线 J=mR^{2}
⑤细圆环对任意切线 J=\frac{3}{2}mR^{2}
xxx环对柱体中心轴线 J=\frac{1}{2}m(R_{1}^{2}+R_{2}^{2})
⑦实圆柱体对中心直径轴线 J=\frac{1}{4}mR^{2}+\frac{1}{12}ml^{2}
⑧实球体对任意直径 J=\frac{2}{5}mR^{2}
⑨薄球壳对任意直径 J=\frac{2}{3}mR^{2}
J=J_{c}+md^{2}
J_{z}=J_{x}+J_{y}
角动量：质点 \bm L=\bm r\times \bm p ,质点对参考点的位矢与质点动量的矢积
质点系 \bm L=\sum_{i}\bm L_{i}=\sum_{i}{\bm r_{i}\times\bm p_{i}}=\bm r_{c}\times m\bm v_{c}+\sum_{i}{\bm r_{i\rightarrow c }\times m_{i}\bm v_{i\rightarrow c}}
表示质点系内所有质点对同一参考点的角动量的矢量和
定轴刚体 L=J\omega
力矩 \bm M=\bm r\times \bm F
质点的微分形式 \bm Mdt=d\bm L
质点的积分形式 \int_{t_{1}}^{t_{2}}\bm Mdt=\Delta \bm L
质点系的微分形式 \bm M_{on}dt=d\bm L
质点系的积分形式 \int_{t_{1}}^{t_{2}}\bm M_{on}dt=\Delta \bm L
定轴刚体(转动定律) M_{zon}=\frac{d L_{z}}{dt}=J\frac{d\omega}{dt}=J\beta , M_{zon} 为对 z 轴的合力矩
质点系条件 \bm M_{on}=\sum_{ion}{\bm M_{ion}}=0 结论 \bm L=constant
定轴刚体条件 M_{zon}=\sum_{i}{M_{izon}}=0 结论 L_{z}=constant