信号与系统概念总结 第1篇
xxx叶变换是在频域中表达在时域中给出的信号的方法。 在本章中，我们讨论连续时间信号的xxx变换，称为连续时间xxx变换（CTFT）。 通过对连续时间信号 x(t) 应用xxx变换，我们获得了循环频域\Omega或等效频域 f 的信号表示。
xxx变换的数学表达式为： \mathcal{X}(\Omega)=F\{x(t)\}=\intop_{-\infty}^\infty x(t)\cdot e^{-j\Omega t}dt\tag{} 或 \mathsf{X}(f)=F\{x(t)\}=\intop_{-\infty}^\infty x(t)\cdot e^{-j2\pi ft}dt\tag{} xxx叶逆变换的数学表达式为: x(t)=F^{-1}\{X(\Omega)\}=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\mathcal{X}(\Omega)\cdot e^{j\Omega t}d\Omega\tag{} 或 x(t)=F^{-1}\{X(f)\}=\intop_{-\infty}^\infty X(f)\cdot e^{j2\pi ft}df\tag{}
上节给出的积分的计算并不总是一件小事。 然而，在 MATLAB中，可以使用 Fourier 命令直接计算信号 x(t) 的xxx变换 X(\Omega)。 相应地，利用ifourier命令来计算xxx逆变换。 在执行这两个命令之前，必须将时间 t 和频率 \Omega 声明为符号变量。 回想一下，符号变量是使用命令 syms 定义的。
有时xxx变换计算复杂，这就是使用已计算的xxx变换对来计算函数的xxx变换或xxx逆变换的原因。 因此，计算过程是用具有已知xxx变换的函数来表达感兴趣的复杂函数，然后基于xxx变换的性质来计算该复杂函数的xxx（或逆xxx）变换。下表给出了最常见的变换对，xxx变换对通过使用命令 fourier 和 ifourier 来确认。
最后，介绍一个非常重要的xxx变换对, 即 pT(t)\leftrightarrow T\sin(\Omega T/2)/(\Omega T/2)\tag{} 其中： pT(t)=1,|t|\leq T/2\Rightarrow pT(t)=\left\{\begin{array}{ll}1,&&-T/2\leq t\leq T/2\\0,&&\mathrm{elsewhere}\end{array}\right.\tag{} 仿真结果如下：
线性： F\{a_1x_1(t)+a_2x_2(t)\}=a_1X_1(\Omega)+a_2X_2(\Omega)\tag{} 时移： F\{x(t-t_0)\}=e^{-j\Omega t_0}X(\Omega)\tag{} 频移： F\left\{e^{j\Omega_0t}x(t)\right\}=X(\Omega-\Omega_0)\tag{} 时间缩放： F\{x(bt)\}=\frac1{|b|}X{\left(\frac\Omega b\right)},b>0\tag{} 频率缩放： F\left\{\frac1{|b|}x\left(\frac tb\right)\right\}=X(b\Omega),b>0\tag{} 该属性的自然含义是，如果信号随时间扩展 (b < 1)，则其频谱会被压缩到较低的频率。 另一方面，信号的时间压缩 (b > 1) 会导致信号频谱扩展到更高的频率。
时间反转： F\{x(-t)\}=\mathcal{X}(-\Omega)\tag{} 对偶： F\{\mathsf{X}(t)\}=2\pi x(-\Omega)\tag{} 共轭： F\{x^*(t)\}=X^*(-\Omega),F\{x^*(-t)\}=X^*(\Omega)\tag{} 时域微分： F\left\{\frac{dx(t)}{dt}\right\}=j\Omega X(\Omega)\tag{} 频域微分： F\{tx(t)\}=j\frac{dX(\Omega)}{d\Omega}\tag{} 积分： F\left\{\int_{-\infty}^tx(\tau)d\tau\right\}=\frac1{j\Omega}X(\Omega)+\pi X(0)\delta(\Omega)\tag{}
两个非常有用的定理，涉及时域或频域中两个信号之间的卷积。 这两个定理使我们能够避免直接计算两个信号之间的卷积。数学表达为 F\{x_1(t)*x_2(t)\}=X_1(\Omega)\cdot X_2(\Omega)\tag{} 相应地，两个信号在频域的卷积变换为转化为时域的乘法。 准确的关系是: F\{x_1(t)x_2(t)\}=\frac1{2\pi}X_1(\Omega)*X_2(\Omega)\tag{}
xxx变换可以xxx下式： \mathrm{X}(\Omega)=\mathrm{Re}\{X(\Omega)\}+j\mathrm{Im}\{X(\Omega)\}\tag{} 如果 x(t) 是实函数，则以下关系成立： \begin{gathered} \mathrm{Re}\{X(-\Omega)\}=\mathrm{Re}\{X(\Omega)\} \\ \mathrm{Im}\{X(-\Omega)\}=-\mathrm{Im}\{X(\Omega)\}\\ \mathsf{X}(-\Omega)=\mathsf{X}*(\Omega) \end{gathered}\tag{} 这些方程表明实信号的xxx变换的实部是偶函数，而实信号的xxx变换的虚部是奇函数。
xxx尔定理指出，连续时间信号的能量可以通过信号的xxx变换在频域中计算出来。 更具体地说，信号 x(t) 的能量由下式计算: E_x=\intop_{-\infty}^\infty|x(t)|^2dt=\frac1{2\pi}\intop_{-\infty}^\infty|\mathcal{X}(\Omega)|^2d\Omega\tag{} 量 |\mathcal{X}(\Omega)|^2 指定频谱上的能量分布，称为信号 x(t) 的能量谱密度。
假设x(t)是能量型信号。 x(t) 的自相关函数定义为： R_x(\tau)=\int_{-\infty}^\infty x(t)x*(t-\tau)dt=\int_{-\infty}^\infty x(t+\tau)x*(t)dt\tag{} 在 MATLAB 中，信号的自相关函数是使用命令 xcorr 计算的。 语法为 R=xcorr(x)*step，其中 step 是信号 x(t) 定义中使用的时间步长。 如果x的长度为M，则命令xcorr（这里是向量R）的结果的长度为2M-1。 因此，R 必须在 x(t) 的双倍时间间隔内绘制。 更具体地说，如果 x(t) 定义在时间间隔 [0, T] 内，则其自相关函数在时间间隔 [ -T, T] 内绘制。 命令 xcorr 的使用方式与命令 conv 类似。
两个信号 x(t) 和 y(t) 的互相关是 x(t) 和 y(t) 之间相似性的度量。 互相关的数学表达式为: R_{xy}(\tau)=\int_{-\infty}^\infty x(t)y*(t-\tau)dt=\int_{-\infty}^\infty x(t+\tau)y*(t)dt\tag{}
信号与系统概念总结 第2篇
术语“传递函数”也用于使用xxx斯变换等变换方法的系统频域分析； 这里它意味着输出的幅度作为输入信号频率的函数。 例如，电子滤波器的传递函数是输出端的电压幅度，作为施加到输入端的恒定幅度正弦波的频率的函数。 对于光学成像设备，光学传递函数是点扩散函数的xxx变换（因此是空间频率的函数）。
在本章中，我们介绍连续和离散时间系统传递函数的概念。 传递函数是一个有价值的工具，可以简化研究和分析线性时不变系统。
LTI 系统完全由具有常数系数的线性微分方程描述，即通过以下形式的 n 阶微分方程： a_n\frac{d^ny(t)}{dt^n}+\cdots+a_1\frac{dy(t)}{dt}+a_0y(t)=b_m\frac{d^mx(t)}{dt^m}+\cdots+b_1\frac{dx(t)}{dt}+b_0x(t)\tag{} 系数ai、bj 是常数。 此外，假设初始条件为零。进行xxx斯变换，求输出与输入之比,即传递函数如下： H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{b_ms^m+b_{m-1}s^{m-1}+\cdots+b_0}{a_ns^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_0}\tag{} 传递函数的另一种定义是系统脉冲响应的xxx斯变换。
传递函数 H(s) 完全指定了系统，因为它包含了所有有关描述的微分方程的系数和阶数的信息系统。 换句话说，如果系统传递函数已知，则微分可以推导出描述系统输入/输出关系的方程， 反之亦然。
语法是H=tf(num, den)，其中 num 和 den 是包含多项式系数的向量，分别为分子和分母。 结果 H 是 MATLAB 的一种特殊类型变量名为TF对象，代表系统的传递函数。
tf 命令的一个很好的功能是可以将时间延迟应用于指定系统的传递函数，通过使用语法 H=tf(num,den, 'inputdelay',m) ，其中 m是所需的延迟。
计算下面系统传函的脉冲响应： H_{1}(s)=s/(s^{2}+4),H_2(s)=e^{-3s}s/(s^2+4) 结果如下图所示：
如果脉冲是有界输入有界输出（BIBO）稳定的，系统的响应是绝对可积的。 数学表达式为 \int\limits_{-\infty}^\infty|h(t)|<\infty\tag{} 假设传递函数H(s)=Y(s)/X(s) xxx有理式如形式，那么分子多项式的根称为系统的零点；分母多项式的根称为系统的极点。
现在可以建立系统稳定性的标准。
如果单个极点位于复平面的右半部分（或者等效地具有正实数），则系统不稳定。 最后，如果极点位于虚轴上（或等效地实部为零），系统临界稳定。
线性单输入单输出 (SISO) 系统的传递函数可以写为零/极点/增益形式，即可以xxx以下形式： H(s)=K\frac{(s-z_1)(s-z_2)\cdots(s-z_m)}{(s-p_1)(s-p_2)\cdots(s-p_n)}\tag{} 用于转换的命令从有理形式到零/极点/增益形式的传递函数是命令 zpk。
如转换下式： H(s)=\frac{2s+1}{s^2+3s+2}
又一个可用于计算传递函数零点、极点和增益的 MATLAB 命令是 tf2zp：[z,p,k]= tf2zp(num,den)，逆操作为[n,d]=zp2tf(z,p,k)。
如前面介绍的，基本的系统之间可能的互连关系为是级联、并联、混合、和反馈，如下图所示。易知，级联传递函数相乘，并联传递函数相加，混合为传递函数的加和乘的混合操作，图中反馈的传递函数不难求得如下： H(s)=\frac{H_1(s)}{1+H_1(s)H_2(s)}\tag{}
假设 H(s) 是系统的传递函数。 系统对输入的响应 y(t), 信号x(t)是Y(s)=H(s)X(s)的xxx斯逆变换。 如果系统稳定的话, 系统响应 y(t) 经过一定的时间间隔 Ts（称为复位时间）后，收敛到恒定状态。 y(t) 的这种状态称为稳态，用 yss(t) 表示。稳态之前y(t) 状态称为瞬态，用 yts(t) 表示。
离散时间系统的传递函数 H(z) 的定义方式与连续时间系统的传递函数类似。 因此 LTI 离散时间的传递函数系统被定义为系统输出信号的 z 变换 Y(z) 与应用于系统的输入信号的 z 变换 X(z)的比值，假设初始值为零状况。 数学表达式为 H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}\tag{}
离散时间传递函数的零点和极点的计算非常重要，因为极点的知识为系统的稳定性提供了标准。 针对连续时间情况引入的命令也适用于离散时间系统。
阶跃响应：dstep的语法 为 y=dstep(num,den)，其中 num 和 den 分别是分子的系数和系统传递函数的分母。
脉冲响应：dimpulse 的语法为 y= dimpulse(num,den)，其中 num 和 den 分别是系统传递函数的分子和分母的系数。
适当的语法是 sysdis=c2d(syscont,Ts,method)，其中 syscont 表示连续时间系统，sysdis 是离散时间系统，Ts 是采样时间，method 是所选的离散化方法。 可用的离散化方法有:
其语法为 Hw= freqresp(Hs,w)，其中 Hs 表示系统的传递函数 H(s)，w 是包含频率的向量，Hw 是在指定的频率 w向量中评估的系统的频率响应。
波特图是波特幅度图和波特相位图的组合。考虑如下传递函数： H(s)=\frac{s+2}{s^2+3s+1}
暂掠之~
信号与系统概念总结 第3篇
信息 是人类社会和自然界中需要传送、交换、存储和提取的 抽象内容。它存在于一切事物之中，事物的一切变化和运动都伴随着信息的交换和传送。各种各样的社会活动、无线电波的传播、计算机的运算等都是信息交换和传输的过程。由于信息是抽象的内容，为了传送和交换信息，必须通过声、光、电等物理量的方式将它表现出来。这样，信息的交换、传送、存储和提取就需借助于信号的传输、存储和处理才得以完成。
信号和信息关系如下： 信号中可能有很多无关信息的东西，信息在信号中也会存在一些
信号是带有信息的某种物理量，是信息的表现形式。 信号可以用数学表达式等多种方式来描述，但信号所含的信息通常利用其波形来表达。因为我们要用现实物理的信号来表示信息。而现实世界的 声、光、电等物理量 基本都是波形方式。
如：声音是一种信号，不同的语音相应有不同的声压（声波对空气的压力）变化波形，下图所示的语音信号可以表示为声压随时间变化的函数，图中给出的是发声时声压信号随时间的变化图。我们就可以把别人说话的 信息 转换为声波 然后被 传感器转换为 电波 然后通过 麦克风 输出再转化为 声波 最后被我们人耳听到，大脑就知道 别人说的话 里面的 信息 了。 其实我们都可以把耳朵看成一个传感器负责给大脑传信号，大脑来解析耳朵听到声音的信号啦，
信号是物理量，它的获取、传输、存储和处理需要依赖物理设备来实现，具备这些功能的设备就称为系统。 系统：定义为一个能对信号进行控制和处理，以实现某种功能的整体。
学的便是：
信号与系统概念总结 第4篇
在数学和信号处理中，Z 变换将离散时间信号（实数或复数序列）转换为复频域（z 域或 z 平面）表示形式。它可以被视为xxx斯变换（s 域）的离散时间等效项。这种相似性在时间尺度微积分理论中得到了探讨。
连续时间xxx变换是在xxx斯 s 域的虚线上计算的，而离散时间xxx变换是在 z 域的单位圆上计算的。 大致上是 s 域的左半平面，现在是复数单位圆的内部； z域在单位圆之外的部分大致对应于s域的右半平面。
被称为 Z 变换的基本思想为xxx斯所知，并于 1947 年由 W. Hurewicz和其他人重新引入，作为处理雷达使用的采样数据控制系统的一种方法。 它提供了一种求解线性常系数差分方程的易处理方法。 后来，1952 年哥伦比亚大学采样数据对照组的 Ragazzini 和 Zadeh 将其称为“z 变换”。
Z 变换中包含的思想在数学文献中也被称为生成函数的方法，其历史可以追溯到 1730 年，当时由 de Moivre 结合概率论提出。 从数学角度来看，Z 变换也可以被视为xxx级数，其中人们将所考虑的数字序列视为解析函数的（xxx）展开。
在本章中，我们介绍 z 变换。 z 变换是xxx斯变换的对应变换处理离散时间信号时进行变换。 它用于转换差异描述离散时间系统的输入/输出关系的代数方程，是离散时间系统分析和设计的非常有用的工具。
Z变换的双边数学表达式为： F(z)=Z\{f[n]\}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}f[n]z^{-n}\tag{} 逆z 变换的数学表达式为 x[n]=\dfrac{1}{2\pi j}\oint X(z)z^{n-1}dz\tag{}
命令 ztrans 计算单边z 变换。iztrans计算逆z变换。
收敛区域 (ROC) 是复平面中 Z 变换求和收敛的点集。定义为 \mathrm{ROC}=\left\{z:\left|\sum_{n=-\infty}^\infty x[n]z^{-n}\right|<\infty\right\}\tag{} 设序列x[n]=[n]，则有： \sum_{n=-\infty}^\infty x[n]z^{-n}=\sum_{n=0}^\{-n}=\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{}z\right)^n=\frac1{{-1}}\tag{} 其收敛域以蓝色显示，单位圆为灰色虚线圆，圆 |z| = 显示为黑色虚线圆圈，如下图所示。
常见z变换对如下图所示。
最常见的变换对及Matlab验证代码如下所示。
z变换性质如下图所示。
xxx尔定理： \sum_{n=-\infty}^\infty x_1[n]x_2^*[n]\quad=\quad\frac1{j2\pi}\oint_CX_1(v)X_2^*(\frac1{v^*})v^{-1}\mathrm{d}v\tag{} 初值定理：如果 x[n] 是因果关系，则 x[0]=\lim_{z\to\infty}X(z)\tag{} 终值定理: 如果 (z − 1)X(z) 的极点在单位圆内，则 x[0]=\lim_{z\to\infty}X(z)\tag{}
序列的 z 变换通常表示为 z 的有理函数，即写为 z 的两个多项式之比。 数学表达式为 X(z)=\frac{B(z)}{A(z)}=\frac{b_mz^m+b_{m-1}z^{m-1}+\cdots+b_1z+b_0}{a_nz^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_1z+a_0}\tag{} 展开方法可参考xxx斯的展开方法。matlab命令为residuez和residue,使用方法类似。
差分方程的一般形式为: y[n]=\sum_{k=0}^qb_kx[n-k]+\sum_{k=1}^pa_ky[n-k]\tag{} 用于求差解分方程的采用因果信号z 变换的移位特性，如下： Z\{x[n-m]\}=z^{-m}X(z)\tag{} 求解差分方程： y[n]+[n-1]+2y[n-2]=[n],y[n]=0,n<0 matlab代码和执行结果如下图所示：
信号与系统概念总结 第5篇
在信号处理和电子学中，系统的频率响应是作为输入频率函数的输出幅度和相位的定量测量。频率响应广泛用于系统的设计和分析，例如音频和控制系统，它们通过将控制微分方程转换为代数方程来简化数学分析。 在音频系统中，它可用于通过设计组件（例如麦克风、放大器和扬声器）来最小化可听失真，以使整个系统带宽内的整体响应尽可能平坦（均匀）。 在控制系统中，例如车辆的巡航控制，它可用于评估系统稳定性，通常通过使用波特图。 可以使用模拟和数字滤波器来设计具有特定频率响应的系统。
频率响应表征频域中的系统，就像脉冲响应表征时域中的系统一样。 在线性系统中（或作为忽略二阶非线性特性的真实系统的近似），任一响应都完全描述系统，因此具有一一对应关系：频率响应是脉冲响应的xxx变换。 频率响应可以更简单地分析多级放大器等级联系统，因为整个系统的响应可以通过各个级的频率响应相乘（而不是时域中脉冲响应的卷积）来找到。 频率响应与线性系统中的传递函数密切相关，传递函数是脉冲响应的xxx斯变换。
系统完全由其脉冲响应 h(t) 指定。 系统响应 y(t)通过将脉冲响应与输入信号 x(t)进行卷积来计算，系统响应由下式给出： y(t)=h(t)*x(t)\leftrightarrow Y(\Omega)=H(\Omega)X(\Omega) \tag{} 频率响应是（循环）频域中系统的完整描述。 频率响应的数学表达式: H(\Omega)=F\{h(t)\}=\frac{Y(\Omega)}{X(\Omega)}=|H(\Omega)|e^{j/H(\Omega)}\tag{} 频率响应如下示意图所示：
系统的频率响应通常以有理形式表示，即如下形式： H(j\Omega)=\frac{B(j\Omega)}{A(j\Omega)}=\frac{b_n(j\Omega)^n+b_{n-1}(j\Omega)^{n-1}+\cdots+b_1(j\Omega)+b_0}{a_m(j\Omega)^m+a_{m-1}(j\Omega)^{m-1}+\cdots+a_1(j\Omega)+a_0}.\tag{}
Matlab中freqs 命令来计算频率响应。其语法为 H=freqs(num,den,w)，其中 num 是分子多项式的系数，den 是分母对应的向量，w 是评估频率响应 H 的频率向量。
如频率响应函数如下式： H(j\Omega)=\frac{B(j\Omega)}{A(j\Omega)}=\frac{8(j\Omega)^2+2(j\Omega)+20}{6(j\Omega)^2-5(j\Omega)-10} 其频率响应如下图所示：
freqs中的多项式系数对应的是a_n(j\Omega)^n的形式，应用时要注意转换成此形式，例如： H(j\Omega)=\frac{\Omega^3+\Omega^2-5\Omega+1}{3\Omega^2-1}\Rightarrow H(j\Omega)=\frac{1/j^3(j\Omega)^3+1/j^2(j\Omega)^2-5/j(j\Omega)+1}{3/j^2(j\Omega)^2+0j\boldsymbol{\Omega}-1} 命令 invfreqs 用于命令freqs进行逆操作。命令 invfreqs 计算频率响应的数学表达式根据最xxx乘法。 因此，该命令获得的结果是近似值并不总是准确的。
语法为 y=lsim(num,den,x,t)，其中 num 为频率响应H(j\Omega)的分子多项式的系数向量，den 是H(j\Omega)分母对应的向量，x 是输入信号，t 是应用输入信号并计算输出信号的时间。使用lsim命令时可能出现的三个问题。 第一个是输入向量 num 和 den 不能包含复系数。 第二个是分子多项式阶数必须小于或等于分母多项式的阶数，第三个是在输出信号计算在很短的一段时间发生初始变化。 如果我们使用语法 lsim(num,den,x,t) 命令，结果是输出 信号 y(t) 与指定时间 t 内的输入信号 x(t)一起的图像。
举例：频率响应与输入信号具有如下表达式： H(j\Omega)=\frac{5j\Omega+2}{2(j\Omega)^2+3j\Omega+4},x(t)=te^{-t},0\leq t\leq10 系统输出如下图所示。
输入信号为正弦信号，系统输入为： y(t)=A|H(\Omega_0)|\cos{(\Omega_0t+\varphi+\angle H(\Omega_0))}\tag{} 仿真实例如下：
系统频率响应 H(j\Omega) 描述的是一个阻止（或切断）输入信号在特定的频率间隔内的滤波器 。 根据被阻止的频率区域，有是四种基本类型的过滤器。
理想滤波器的仿真结果如下所示：
到目前为止，我们讨论了频率响应的幅度，并得出结论信号在特定频率范围内不失真地传递，如果幅度滤波器的响应在此范围内都为单位1。 然而，滤波器频率响应的相位性能对于从该滤波器传递的信号可能出现的失真起着关键作用。 在为了避免信号失真，滤波器频率响应的相位必须是\Omega线性的函数，或更具体地说，滤波器在通带的相位响应必须是如下形式： \angle H(\Omega)=-\Omega t_d,\quad\Omega\in\text{passband},t_d>0\tag{} 在通带中具有单位幅度响应且满足上式的滤波器称为理想滤波器。 理想滤波器的频率响应为： H(\Omega)=\left\{\begin{array}{ll}e^{-j\Omega t_d},&\Omega\in\text{passband}\\0,&\Omega\in\text{stopband}\end{array}\right.\tag{}
离散时间系统的频率响应计算如下： H(\omega)=DTFT\{h[n]\}=\sum_{n=-\infty}^\infty h[n]e^{-j\omega n}\tag{}
举例脉冲响应为 h[n]=[3,5,2,1],0\leq n\leq3.
仿真结果如下：
离散时间系统的频率响应通常是以下形式的函数： H(\omega)=\frac{B(\omega)}{A(\omega)}=\frac{b_0+b_1e^{-j\omega}+\cdots+b_ne^{-jn\omega}}{a_0+a_1e^{-j\omega}+\cdots+a_me^{-jm\omega}}\tag{} freqz的语法和使用类似于用于计算连续时间系统的频率响应的命令freqs。
举例：
H(\omega)=\frac{3+5e^{-j\omega}-7e^{-2j\omega}}{2-4e^{-j\omega}}\tag{ex} 上式频率响应为：
命令invfreqz完成freqz的逆操作。
系统对离散时间正弦输入的响应表达式为： y[n]=A|H(\omega_0)|\cos(\omega_0n+\theta+\angle H(\omega_0))\tag{} 仿真结果如下：
在统计学中，移动平均值（滚动平均值或运行平均值）是一种通过创建完整数据集的不同选择的一系列平均值来分析数据点的计算。 它也称为移动平均值 (MM)或滚动平均值，是一种有限脉冲响应滤波器。 变体包括：简单、累积或加权形式。
移动平均滤波器有时称为 Boxcar 滤波器，尤其是在进行抽取时。 移动平均滤波器是一种简单的 FIR 滤波器，由输入/输出关系描述: y[n]=\frac{1}{N}(x[n]+x[n-1]+\cdots+x[n-N+1])=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}x[n-k]\tag{} 根据时移性质，上式变换到频域可以xxx \begin{aligned}&Y(\omega)=\frac1N(X(\omega)+X(\omega)e^{-j\omega}+\cdots+X(\omega)e^{-j(N-1)\omega})\\&\Rightarrow Y(\omega)=\frac1N(1+e^{-j\omega}+\cdots+e^{-j(N-1)\omega})X(\omega).\end{aligned}\tag{} 因此，移动平均滤波器的频率响应由下式给出: H(\omega)=\frac{Y(\omega)}{X(\omega)}=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}e^{-jk\omega}=\frac{\sin{(N\omega/2)}}{N\operatorname{sin}{(\omega/2)}}e^{-j(N-1)\omega/2}\tag{} 最后，移动平均滤波器的脉冲响应由下式给出: h[n]=\left\{\begin{matrix}\frac{1}{N},&\quad0\leq n\leq N-1\\0,&\quad\text{elsewhere}\end{matrix}\right.\tag{}
3点的移动平均幅频响应如下图所示：
使用移动平均值（红色曲线）平滑叠加噪声的正弦信号（蓝色曲线）如下图所示：
两个移动平均线指标（简单和指数）添加到典型的股票图表中如下图所示：
信号与系统概念总结 第6篇
在数学中，xxx斯变换以其发现者皮埃尔-西蒙·xxx斯 (/ləˈplɑːs/) 命名，是一种积分变换，可将实变量的函数（通常为t，在时域）到复变量的函数s（在复频域中，也称为 s 域或 s 平面）。 该变换在科学和工程中具有许多应用，因为它是求解微分方程的工具。 特别是，它将常微分方程转化为代数方程，将卷积转化为乘法。
在本章中，我们介绍连续时间信号的xxx斯变换。 这xxx斯变换是一种将连续时间信号从时域 t 转换为复数频域 s，是信号处理领域中的一个有价值的工具。
xxx斯变换有两种可用形式。 第一种是双边（two-sided or bilateral）xxx斯变换，其中函数 f (t) 的xxx斯变换 F(s) 由下式给出: F(s)=L\{f(t)\}=\intop_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-st}dt\tag{} 变量 s 是一个复数值，因此可以写为s=\sigma+j\Omega。将积分的下限设置为零会产生单边（one-sided or unilateral）xxx斯变换。信号处理使用单边xxx斯变换更适合，因为所考虑的信号通常是因果信号。 为了从S域变回时域，应用xxx斯逆变换。 xxx斯逆变换数学表达式为： f(t)=L^{-1}\{F(s)\}=\frac{1}{2\pi j}\int\limits_{\mathbf{o}-j\infty}^{\mathbf{\sigma}+j\infty}F(s)e^{st}dt\tag{}
命令 laplace 计算函数的单边xxx斯变换。命令 ilaplace 计算函数的逆xxx斯变换。
函数的xxx斯变换并不总是存在，因为 () 的积分并不总是收敛。以信号x(t)=e^{-at}u(t),a\in\mathbb{R}为例，其xxx斯变换为： X(s)=L(x(t))=\intop_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-st}dt=\intop_{-\infty}^{\infty}e^{-at}u(t)e^{-st}dt=\intop_{0}^{\infty}e^{-(a+s)t}dt=\\frac{1}{s+a}(e^{-(a+s)t}\Bigr|_{t\to\infty}-1\right)\tag{} 当\operatorname{Re}\{s\}>-a时，\{-(a+s)t}\right|_{t\to\infty}有界的，对应s的取值范围定义为收敛域。
常见xxx斯变换对及其收敛域如下图所示。
常见xxx斯变换对及Matlab仿真命令如下图所示。
单边xxx斯变换的性质如下图所示。
在通常情况下，函数的xxx斯变换表示为s有理函数也就是说，以 s 的两个多项式之比的形式给出。 数学表达式为: X(s)=\frac{B(s)}{A(s)}=\frac{b_ms^m+b_{m-1}s^{m-1}+\cdots+b_1s+b_0}{a_ns^n+a_{n-1}s^{n-1}+\cdots+a_1s+a_0}\tag{} 其中 ai 和 bi 是实标量。
首先，我们讨论 m < n 的情况； 也就是说，这种情况分子多项式 B(s) 的次数低于分母的 A(s)多项式的次数。 假设\lambda_i是 A(s) 的根。考虑以下两种情况：\lambda_i是各不相同的，则X(s)可以xxx： X(s)=\frac{c_1}{s-\lambda_1}+\frac{c_2}{s-\lambda_2}+\cdots+\frac{c_n}{s-\lambda_n}\tag{} 其中系数 c1, .... , cn 根据以下公式计算: c_i=\lim_{s\to\lambda_i}(s-\lambda_i)X(s)=[(s-\lambda_i)X(s)]_{s=\lambda_i}\tag{} 当根\lambda_i 重复，假设根 \lambda_i 重复 r 次，所有其他根是不同的。 在这种情况下，A(s) 被xxx因式分解的形式: A(s)=a_n(s-\lambda_1)^r\prod_{i=r+1}^n(s-\lambda_i)\tag{} 对应的X(s)可以xxx： \begin{aligned}X(s)=\frac{c_1}{s-\lambda_1}+\frac{c_2}{(s-\lambda_1)^2}+\cdots+\frac{c_r}{(s-\lambda_1)^r}+\frac{c_{r+1}}{s-\lambda_{r+1}}+\cdots+\frac{c_n}{s-\lambda_n}.\end{aligned}\tag{} 系数 c1, ... , cn 的计算公式为: \begin{aligned}c_i&=\lim_{s\to\lambda_1}\frac1{(r-i)!}\frac{d^{r-i}[(s-\lambda_1)^rX(s)]}{ds^{r-i}},\quad i=1,\ldots,r,\\c_i&=\lim_{s\to\lambda_i}(s-\lambda_i)X(s),\quad i=r+1,\ldots,n\end{aligned}\tag{} 现在让我们考虑 m\geq n 的情况，即分子多项式的次数B(s) 大于或等于分母多项式 A(s) 的次数。 在这种情况下，我们必须实现 B(s) 和 A(s) 之间的划分。 信号 X(s) 写为: X(s)=\dfrac{B(s)}{A(s)}=K(s)+\dfrac{G(s)}{A(s)}\tag{} 两个多项式的除法由命令 deconv 计算。
residue命令：语法为 [R,P,K]=residue(B,A)，其中 B 是包含分子系数的向量多项式，A 是分母多项式的系数向量。命令residue也可用于逆运算； 也就是说，它可以用来将以部分分数形式书写的信号表达为有理形式，语法为 [B, A]=residue(R,P,K)。
时域中的卷积变换为复频域中的乘法。 数学表达式为： L\{x_1(t)*x_2(t)\}=X_1(s)\cdot X_2(s)\tag{} 复频域中的卷积变换为时域中的乘法。 数学表达式为： L\{x_1(t)x_2(t)\}=\frac{1}{2\pi j}X_1(s)*X_2(s)\tag{}
线性微分方程具有常数系数的关系由以下关系描述: a_n\frac{d^ny(t)}{dt^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y(t)}{dt^{n-1}}+\cdots+a_1\frac{dy(t)}{dt}+a_0y(t)=x(t)\tag{} 利用下式求导公式： L\left\{\frac{d^nx(t)}{dt^n}\right\}=sL\left\{\frac{d^{n-1}x(t)}{dt^{n-1}}\right\}-x^{(n)}(0)\tag{} 对进行xxx斯变换后，应用求导方法，整理合并可以求得Y(s)，再进行逆xxx斯变换，既可以得到微分方程的解。
如求解下述微分方程： y''(t)+3y'(t)+2y(t)=e^{-t},y(0)=2,y'(0)=3\tag{} 代码与执行结果如下：
为了确认 y(t) 实际上是微分方程的解，将 y(t) 代入微分方程。 满足微分方程以及初始条件， 那么它确实是它的解。