三角函数总结 第1篇
诱导公式的本质
所谓三角函数诱导公式，就是将角n(/2)的三角函数转化为角的三角函数。
常用的诱导公式
公式一： 设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin(2k)=sin kz
cos(2k)=cos kz
tan(2k)=tan kz
cot(2k)=cot kz
公式二： 设为任意角，的'三角函数值与的三角函数值之间的关系：
sin()=-sin
cos()=-cos
tan()=tan
cot()=cot
公式三： 任意角与 -的三角函数值之间的关系：
sin(-)=-sin
cos(-)=cos
tan(-)=-tan
cot(-)=-cot
公式四： 利用公式二和公式三可以得到与的三角函数值之间的关系：
sin()=sin
cos()=-cos
tan()=-tan
cot()=-cot
三角函数总结 第2篇
三角函数之间关系如下图所示。
当角度在0和90度之间时，重要的转化关系如下图所示。
将和差角度展开，如下图所示：
倍角公式如下图所示：
对于大的倍角，可以利用the de Moivre formula，结合二项定理，有：
需要根据半角所在象限，确定平方根的正负号，半角公式如下：
和差化积公式如下：
积化和差公式如下：
三角函数的幂性质如下：
三角函数总结 第3篇
在工程和物理学中，人们经常会遇到取决于时间的量，如下所示：
u(t)=A\sin(\omega t + \varphi) \tag{20}
它们也被称为正弦量(sinusoidal quantities)。它们对时间的依赖性导致谐波振荡(harmonic oscillation )。
上式也可以写成如下形式： \begin{cases} u(t) = a\sin(\omega t) + b \cos(\omega t)\\ A= \sqrt{a^2+b^2} \\ \tan \varphi = \frac{b}{a} \end{cases} \tag{21}
式(20)和式(21)的表示形式可以由下图描述。
最简单的情况是，两个同频率的振动进行叠加，形成同频率的谐波震荡如下：
\begin{cases} A_1\sin(\omega t + \varphi_1)+A_1\sin(\omega t + \varphi_1) = A\sin(\omega t + \varphi) \\ A = \sqrt{A_1^2 +A_2^2 +2A_1A_2\cos(\varphi_2-\varphi_2)}\\ \tan \varphi = \frac{A_1\sin \varphi_1+A_2\sin \varphi_2}{A_1\cos \varphi_1+A_2\cos \varphi_2} \end{cases} \tag{22}
其中后两项可以由矢量图确定，如下图所示。
多个同频的正弦波的线性组合产生一个同频的正弦函数，如下所示：
\sum_{i}c_iA_i\sin(\omega t + \varphi_i) =A\sin(\omega t + \varphi) \tag{23}
阻尼震荡(如上图所示)曲线的函数表达式为 u(t)=Ae^{-at}\sin(\omega t +\varphi_0)\tag{24}
其沿t轴震荡，渐进接近t轴，正弦曲线被指数曲线包围，其与指数曲线的交点、与u轴的交点、与t轴交点、极值点的横坐标以及拐点(the inflection points)横坐标分别为：
\begin{cases} A_0,A_1,\cdots,A_k = (\frac{(k+1/2)\pi-\varphi_0}{\omega},(-1)^k\exp(-a\frac{(k+1/2)\pi-\varphi_0}{\omega}))\\ B = \frac{k\pi - \varphi_0 +\alpha}{\omega}\\ C_0,C_1,\cdots,C_k = (\frac{k\pi-varphi_0}{\omega},0)\\ D_{0t},D_{1t},\cdots,D_{kt} = \frac{k\pi - \varphi_0+\alpha}{\omega}, \tan \alpha = \frac{\omega}{a} \\ E_{0t},E_{1t},\cdots,E_{kt} = \frac{k\pi - \varphi_0+2\alpha}{\omega}, \tan \alpha = \frac{\omega}{a} \end{cases}\tag{25}
三角函数总结 第4篇
The cyclometric functions or arcus functions are the inverses of the trigonometric functions. 三角函数被划分为多个单调区间，在每个单调区间内定义反三角函数。
反正弦、xxx、正切和余切函数如上图所示。不是一般性，以反正弦三角函数(最左图)为例，可表示为
\begin{cases} y = arc_k \sin x\\ \text{domains and ranges}:-1 \leq x \leq 1 \quad and \quad k\pi - \pi/2 \leq y \leq k\pi + \pi/2\\ k = 0, \pm1 ,\pm 2 , \cdots \end{cases} \tag{26} 定义域与值域关系如下图所示。
当k=0时，对应主值(the Principal Values)。反三角函数对应主值区如下图所示。
其它反三角函数值可以通过主值来计算：
\begin{cases} arc_k\sin x = k\pi + (-1)^k arc \sin x \\ arc_k\cos x = (k+1)\pi- arc \cos x , (k \quad odd)\\ arc_k\cos x = k\pi+arc \cos x , (k \quad even)\\ arc_k\tan x = k\pi + arc \tan x \\ arc_k\cot x = k\pi + arc \cot x \\ \end{cases}\tag{27}
三角函数总结 第5篇
三角函数公式表
同角三角函数的基本关系式
倒数关系: 商的关系： 平方关系：
tan cot=1
sin csc=1
cos sec=1 sin/cos=tan=sec/csc
cos/sin=cot=csc/sec sin2+cos2=1
1+tan2=sec2
1+cot2=csc2
(六边形记忆法：图形结构上弦中切下割，左正右余中间1记忆方法对角线上两个函数的积为1;阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的`三角函数值的平方;任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。)
诱导公式(口诀:奇变偶不变，符号看象限。)
sin(-)=-sin
cos(-)=cos tan(-)=-tan
cot(-)=-cot
sin(/2-)=cos
cos(/2-)=sin
tan(/2-)=cot
cot(/2-)=tan
sin(/2+)=cos
cos(/2+)=-sin
tan(/2+)=-cot
cot(/2+)=-tan
sin()=sin
cos()=-cos
tan()=-tan
cot()=-cot
sin()=-sin
cos()=-cos
tan()=tan
cot()=cot
sin(3/2-)=-cos
cos(3/2-)=-sin
tan(3/2-)=cot
cot(3/2-)=tan
sin(3/2+)=-cos
cos(3/2+)=sin
tan(3/2+)=-cot
cot(3/2+)=-tan
sin(2)=-sin
cos(2)=cos
tan(2)=-tan
cot(2)=-cot
sin(2k)=sin
cos(2k)=cos
tan(2k)=tan
cot(2k)=cot
sin(+)=sincos+cossin
sin(-)=sincos-cossin
cos(+)=coscos-sinsin
cos(-)=coscos+sinsin
tan+tan
tan(+)=
1-tan tan
tan-tan
tan(-)=
1+tan tan
2tan(/2)
sin=
1+tan2(/2)
1-tan2(/2)
cos=
1+tan2(/2)
2tan(/2)
tan=
1-tan2(/2)
sin2=2sincos
cos2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2
2tan
tan2=
1-tan2
sin3=3sin-4sin3
cos3=4cos3-3cos
3tan-tan3
tan3=
1-3tan2
三角函数总结 第6篇
锐角三角函数公式
sin α=∠α的对边 / 斜边
cos α=∠α的邻边 / 斜边
tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边
cot α=∠α的'邻边 / ∠α的对边
三倍角公式推导
sin3a
=sin(2a+a)
=sin2acosa+cos2asina
辅助角公式
Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中
sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)
cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)
tant=B/A
Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B
降幂公式
sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2
cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2
tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))
三角函数总结 第7篇
《数学手册》第二章函数部分介绍了初等函数、多项式函数、有理函数、无理函数、指数与对数函数、三角函数、双曲函数(Hyperbolic Functions)和逆双曲函数(Area Functions, the inverse hyperbolic functions)等。雷达信号处理中最重要的就是几何模型和信号模型，几何模型离不开三角函数，本节将介绍三角函数相关基础知识。
三角函数总结 第8篇
将上述六个三角函数同时画在[0,2\pi]区间内，包含4个象限，如上图所示。
这些函数的定义域与值域，函数的符号与于输入所在象限关系总结如下图。
一些特殊角度对应的三角函数值如下图所示。
三角函数为周期函数，当角度大于周期时，可以转化为周期内角度进行计算, 则有
\begin{cases} x > 360^o \quad or \quad x>180^o\\ 0\leq \alpha \leq 360^o \quad or \quad 0\leq \alpha \leq 180^o \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \sin (360^o \cdot n + \alpha)=\sin{\alpha},\cos (360^o \cdot n + \alpha)=\cos{\alpha} \\ \tan (180^o \cdot n + \alpha)=\tan{\alpha},\cot (180^o \cdot n + \alpha)=\cot{\alpha} \\ \end{cases}\tag{16}
当输入角度为负值时，可以转化为正值进行计算，则有
\begin{cases} \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha), \cos(-\alpha) = \cos \alpha \\ \tan(-\alpha) = -\tan(\alpha), \cot(-\alpha) = -\cot \alpha \\ \end{cases} \tag{17}
当输入角度大于90 度小于360度时，可以按照下图进行计算：
上图中前两列构成余角公式(complementary angle formulas)，第一列和第三列构成补角公式(supplementary angle formulas)。
当角度在0到90度时，可以直接计算，如下实例：
\sin(-1000^o)=-\sin(1000^o)=-\sin(360^o \cdot 2 + 280^o)=-\sin(280^o)=+\cos10^o = + \tag{18}
如果以弧度的形式给出，可以利用下式进行转化：
y(^o) = x(/rad)/\pi*180^o \tag{19}
三角函数总结 第9篇
倍角公式
二倍角公式
正弦形式：sin2α=2sinαcosα
正切形式：tan2α=2tanα/(1-tan^2(α))
xxx形式：cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)
三倍角公式
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)
tan3a=tana·tan(π/3+a)·tan(π/3-a)
四倍角公式
sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))
cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)
tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)
半角公式
sin(A/2)=√((1-cosA)/2)
sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)
cos(A/2)=√((1+cosA)/2)
cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)
tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))
tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))
积化和差
sina*cosb=[sin(a+b)+sin(a-b)]/2
cosa*sinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2
cosa*cosb=[cos(a+b)+cos(a-b)]/2
sina*sinb=[cos(a-b)-cos(a+b)]/2
和差化积
sina+sinb=2sin[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]
sina-sinb=2sin[(a-b)/2]cos[(a+b)/2]
cosa+cosb=2cos[(a+b)/2]cos[(a-b)/2]
cosa-cosb=-2sin[(a+b)/2]sin[(a-b)/2]
诱导公式
任意角α与-α的三角函数值之间的关系：
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα
cot(-α)=-cotα
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα
cot(π-α)=-cotα
设α为任意角，终边相同的`角的同一三角函数的值相等：
sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)
cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)
tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)
cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin(2π-α)=-sinα
cos(2π-α)=cosα
tan(2π-α)=-tanα
cot(2π-α)=-cotα
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=-sinα
tan(π/2+α)=-cotα
cot(π/2+α)=-tanα
sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
tan(π/2-α)=cotα
cot(π/2-α)=tanα
sin(3π/2+α)=-cosα
cos(3π/2+α)=sinα
tan(3π/2+α)=-cotα
cot(3π/2+α)=-tanα
sin(3π/2-α)=-cosα
cos(3π/2-α)=-sinα
tan(3π/2-α)=cotα
cot(3π/2-α)=tanα
(以上k∈Z)
拓展阅读：三角函数常用知识点
1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。
2、在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)
3、任意锐角的正弦值等于它的余角的xxx值;任意锐角的xxx值等于它的余角的正弦值。
4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值;任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
5、正弦、xxx的增减性：当0°≤α≤90°时，sinα随α的增大而增大，cosα随α的增大而减小。
6、正切、余切的增减性：当0°<α<90°时，tanα随α的增大而增大，cotα随α的增大而减小。
三角函数总结 第10篇
万能公式推导
sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α)……*，
（因为cos^2(α)+sin^2(α)=1）
再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα/(1+tan^2(α))
然后用α/2代替α即可。
同理可推导xxx的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比xxx得到。
三倍角公式推导
tan3α=sin3α/cos3α
=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)
=(2sinαcos^2(α)+cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα)
上下同除以cos^3(α)，得：
tan3α=(3tanα－tan^3(α))/(1-3tan^2(α))
sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα
=2sinαcos^2(α)+(1－2sin^2(α))sinα
=2sinα－2sin^3(α)+sinα－2sin^3(α)
=3sinα－4sin^3(α)
cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα－sin2αsinα
=(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α)
=2cos^3(α)－cosα+(2cosα－2cos^3(α))
=4cos^3(α)－3cosα
sin3α=3sinα－4sin^3(α)
cos3α=4cos^3(α)－3cosα
和差化积公式推导
首先，我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb，sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb
我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb
所以，sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
同理，若把两式相减，就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
同样的.，我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb，cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb
所以，把两式相加，我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb
所以我们就得到，cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
同理，两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
这样，我们就得到了积化和差的四个公式:
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
好，有了积化和差的四个公式以后，我们只需一个变形，就可以得到和差化积的四个公式。
我们把上述四个公式中的a+b设为x，a-b设为y，那么a=(x+y)/2，b=(x-y)/2
把a，b分别用x，y表示就可以得到和差化积的四个公式:
sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
三角函数总结 第11篇
三角形与三角函数
1、正弦定理：在三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 。（其中R为外接圆的半径）
2、第一xxx定理：三角形中任意一边等于其他两边以及对应角xxx的交叉乘积的和，即a=c cosB + b cosC
3、第二xxx定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方之和减去这两边与它们夹角的xxx的.积的2倍，即a^2=b^2+c^2—2bc·cosA
4、正切定理（napier比拟）：三角形中任意两边差和的比值等于对应角半角差和的正切比值，即（a—b）/（a+b）=tan[（A—B）/2]/tan[（A+B）/2]=tan[（A—B）/2]/cot（C/2）
5、三角形中的恒等式：
对于任意非直角三角形中，如三角形ABC，总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
证明：
已知（A+B）=（π—C）
所以tan（A+B）=tan（π—C）
则（tanA+tanB）/（1—tanAtanB）=（tanπ—tanC）/（1+tanπtanC）
整理可得
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
类似地，我们同样也可以求证：当α+β+γ=nπ（n∈Z）时，总有tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ