数学必修4知识点总结 第1篇
一、平面的基本性质与推论
1、平面的基本性质：
公理1如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内;
公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面;
公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
2、空间点、直线、平面之间的位置关系：
直线与直线—平行、相交、异面;
直线与平面—平行、相交、直线属于该平面(线在面内，最易忽视);
平面与平面—平行、相交。
3、异面直线：
平面外一点A与平面一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线(判定);
xxx的角范围(0，90)度(平移法，作平行线相交得到夹角或其补角);
两条直线不是异面直线，则两条直线平行或相交(反证);
异面直线不同在任何一个平面内。
求异面直线xxx的角：平移法，把异面问题转化为相交直线的夹角
二、空间中的平行关系
1、直线与平面平行(核心)
定义：直线和平面没有公共点
判定：不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面(由线线平行得出)
性质：一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线就和两平面的交线平行
2、平面与平面平行
定义：两个平面没有公共点
判定：一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，则这两个平面平行
性质：两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面;如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
3、常利用三角形中位线、平行四边形对边、已知直线作一平面找其交线
三、空间中的垂直关系
1、直线与平面垂直
定义：直线与平面内任意一条直线都垂直
判定：如果一条直线与一个平面内的两条相交的直线都垂直，则该直线与此平面垂直
性质：垂直于同一直线的两平面平行
推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面
直线和平面xxx的角：【0，90】度，平面内的一条斜线和它在平面内的射影说成的锐角，特别规定垂直90度，在平面内或者平行0度
2、平面与平面垂直
定义：两个平面xxx的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形)是xxx面角(二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线xxx的角)
判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
人教版高一数学知识点框架
1.等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，xxx等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。
有关系：
注：两个非零同号的实数的等比中项有两个，它们互为相反数，所以G2=ab是a,G,b三数成等比数列的必要不充分条件。
2.等比数列通项公式
an=a1_q’(n-1)(其中首项是a1，公比是q)
an=Sn-S(n-1)(n≥2)
前n项和
当q≠1时，等比数列的前n项和的公式为
Sn=a1(1-q’n)/(1-q)=(a1-a1_q’n)/(1-q)(q≠1)
当q=1时，等比数列的前n项和的公式为
Sn=na1
3.等比数列前n项和与通项的关系
an=a1=s1(n=1)
an=sn-s(n-1)(n≥2)
4.等比数列性质
(1)若m、n、p、q∈N_，且m+n=p+q，则am·an=ap·aq;
(2)在等比数列中，依次每k项之和xxx等比数列。
(3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1，k∈{1,2,…，n}
(4)等比中项：q、r、xxx等比数列，则aq·ap=ar2，ar则为ap，aq等比中项。
记πn=a1·a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1，π2n+1=(an+1)2n+1
另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底指数幂后构成一个等差数列;反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
(5)等比数列前n项之和Sn=a1(1-q’n)/(1-q)
(6)任意两项am，an的关系为an=am·q’(n-m)
(7)在等比数列中，首项a1与公比q都不为零。
注意：上述公式中a’n表示a的n次方。
数学必修4知识点总结 第2篇
一、平面的基本性质与推论
1、平面的基本性质：
公理1如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内;
公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面;
公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
2、空间点、直线、平面之间的位置关系：
直线与直线—平行、相交、异面;
直线与平面—平行、相交、直线属于该平面(线在面内，最易忽视);
平面与平面—平行、相交。
3、异面直线：
平面外一点A与平面一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线(判定);
xxx的角范围(0，90)度(平移法，作平行线相交得到夹角或其补角);
两条直线不是异面直线，则两条直线平行或相交(反证);
异面直线不同在任何一个平面内。
求异面直线xxx的角：平移法，把异面问题转化为相交直线的夹角
二、空间中的平行关系
1、直线与平面平行(核心)
定义：直线和平面没有公共点
判定：不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面(由线线平行得出)
性质：一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线就和两平面的交线平行
2、平面与平面平行
定义：两个平面没有公共点
判定：一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，则这两个平面平行
性质：两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面;如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
3、常利用三角形中位线、平行四边形对边、已知直线作一平面找其交线
三、空间中的垂直关系
1、直线与平面垂直
定义：直线与平面内任意一条直线都垂直
判定：如果一条直线与一个平面内的两条相交的直线都垂直，则该直线与此平面垂直
性质：垂直于同一直线的两平面平行
推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面
直线和平面xxx的角：【0，90】度，平面内的一条斜线和它在平面内的射影说成的锐角，特别规定垂直90度，在平面内或者平行0度
2、平面与平面垂直
定义：两个平面xxx的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形)是xxx面角(二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线xxx的角)
判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
数学必修4知识点总结 第3篇
立体几何初步
（1）棱柱：
定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几xxx。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱
几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
（2）棱锥
定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几xxx
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等
表示：用各顶点字母，如五棱锥
几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
（3）棱台：
定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
表示：用各顶点字母，如五棱台
几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点
（4）圆柱：
定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转xxx的曲面所围成的几xxx
几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。
（5）圆锥：
定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周xxx的曲面所围成的几xxx
几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。
（6）圆台：
定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分
几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。
（7）球体：
定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一xxx的几xxx
几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
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数学必修4知识点总结 第4篇
必修4复习资料知识总结篇
第一章三角函数
1、任意角正角:负角:零角:
2、象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．如：-1350（）1350（）950（）-950()-6300（）6300()-7000（）7000（）
第一象限角的集合为第二象限角的集合为第三象限角的集合为第四象限角的集合为终边在x轴上的角的集合为终边在y轴上的角的集合为终边在坐标轴上的角的集合为
3、与角终边相同的角的集合为4、1弧度的角:
半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，则角的弧度数的绝对值是．
18000．180=rad，1=rad(),、弧度制与角度制的换算公式：512如：150=rad,0
6、若扇形的圆心角为为弧度制，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则l，
C2rl，S=．
7、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是x,y，它与原点的距离是
rrxy022，则sin，cos，tanx0．
8、三角函数在各象限的符号：
9、同角三角函数的基本关系：（变式：，）；．(变式:,)10、三角函数的诱导公式：(口诀：函数名称不变，符号看象限．)
1sin2k，cos2k，tan2k．2sin，cos，tan．3sin，cos，tan．4sin，cos，tan．
5sin，cos．6sin，cos2222-1-用心去倾注，用脑去思考，用行动去演绎你精彩的数学人生
．必修4复习资料知识总结篇
11、正弦函数、xxx函数和正切函数的图象与性质：函ycosx性质数ysinxytanx图象定义域值域最值周期奇偶性RRR当x=时，ymax1；x=时,ymax1；既无最大值也无最小值当x=时，ymin1x=时,ymin1．奇函数偶函数奇函数单在上调是增函数；性在上是减函数．在上是增函数；在在上是增函数．上是减函数．12、（课本52页第二段）关于、、对ysinx0,0的影响函数ysinx0,0的性质：①振幅；②周期2；③频率f12；④相位：x；⑤初相：．
函数ysinx，当xx1时，取得最小值为ymin；当xx2时，取得最大值为ymax，则12ymaxymin，12ymaxymin，
2x2x1x1x2
-2-用心去倾注，用脑去思考，用行动去演绎你精彩的数学人生必修4复习资料知识总结篇
第二章平面向量
1、向量：数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度．如：AB记作
零向量：长度为的向量．记作单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：的非零向量．零向量与任一向量．记作相等向量：．2、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．首尾连
⑵平行四边形法则的特点：共起点．共起点之对角线
rrrrrr⑶三角形不等式：ababab
rrrrrrrrrrrrrrr⑷运算性质：①交换律：abba；②结合律：abcabc；③a00aa
rrrr⑸坐标运算：设ax1,y1，bx2,y2，则ab（）．
3、向量减法运算：
⑴减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。Cra
uuuruuurrr
abC（）
rrrr⑵坐标运算：设ax1,y1，bx2,y2，则ab（）．
uuurx,y设、两点的坐标分别为x1,y1，22，则（）．坐标减去坐标
4、向量数乘运算：
rr⑴实数与向量a的积仍是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a．
rr①aa；
rrrrrra0．a的方向与a的方向；a的方向与a的方向；②当0时，当0时，当0时，
rrrrrrrrr⑵运算律：①aa；②aaa；③abab．
-3-用心去倾注，用脑去思考，用行动去演绎你精彩的数学人生必修4复习资料知识总结篇
rr⑶坐标运算：设ax,y，则ax,y（）．
rrrr5、向量共线定理：向量aa0与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使．
rrrrrrrr设ax1,y1，bx2,y2，其中b0，则当且仅当时，向量a、bb0共线．
ururr6、平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，ururr有且只有一对实数1、2，使a．（不共线的向量e1、e2作为这一平面内所有向量的一组基底）
7、中点坐标公式：设点是线段12上的中点，1、2的坐标分别是x1,y1，x2,y2，则点的坐标是．23、平面向量的数量积：rr⑴ab．零向量与任一向量的数量积为0．
rrrrrrrrrrr⑵性质：设a和b都是非零向量，则①ab．②当a与b同向时，abab；当arrrrrrrr2r与b反向时，abab；aaaa2r或arraa．
rrrr③abab．因为
rrrrrrrrrr⑶运算律：①abba；②ababab；
rrrrrrr③abcacbc．
rr⑷坐标运算：设两个非零向量ax1,y1，bx2,y2，则．
rr若ax,y，则a2rr2a，则a．
rrrr设ax1,y1，bx2,y2，则ab．
rrrrrr设a、b都是非零向量，ax1,y1，bx2,y2，是a与b的夹角，则
rrabcosrr．
-4-用心去倾注，用脑去思考，用行动去演绎你精彩的数学人生必修4复习资料知识总结篇
第三章三角恒等变换
24、两角和与差的正弦、xxx和正切公式：⑴coscoscossinsin；⑵coscoscossinsin；⑶sinsincoscossin；⑷sinsincoscossin；⑸（tantantan1tantan）；
⑹tan（tantantan1tantan）．
25、二倍角的正弦、xxx和正切公式：
⑴sin22sincos．
⑵（cos2⑶tan22tan1tan2cos212，sin21cos22）．
26、三角恒等变换
sincossin，其中tan22．
-5-用心去倾注，用脑去思考，用行动去演绎你精彩的数学人生
扩展阅读：高中数学人教版必修4知识点总结
高中数学必修4知识点
正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角
2、角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角．
k360第一象限角的集合为
k36090,k
k36090第二象限角的集合为
k360180,kk360180第三象限角的集合为
k360270,kk360270第四象限角的集合为
k360360,kk180,kx终边在轴上的角的集合为
k18090,k
终边在y轴上的角的集合为
k90,k
终边在坐标轴上的角的集合为
k360,k3、与角终边相同的角的集合为
4、已知是第几象限角，确定
nn*所在象限的方法：先把各象限均分n等份，再从x轴的正半轴的上方起，
依次将各区域标上一、二、三、四，则原来是第几象限对应的标号即为n终边所落在的区域．
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．
6、半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，则角的弧度数的绝对值是
lr．
，7、弧度制与角度制的换算公式：2360，．
8、若扇形的圆心角为
为弧度制，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则
lr，C2rl，
11Slrr222．
9、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是
x,y，它与原点的距离是
rrx2y20，
sin则
yxycostanx0r，r，x．
10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限xxx为正．11、三角函数线：sin，cos，tan．
yPTOMAx1sin2cos2112、同角三角函数的基本关系：
sin21cos,cos1sin2222cos；
sintan
sinsintancos,costan．13、三角函数的诱导公式：
1sin2ksin，cos2kcos，tan2ktank．2sinsin，coscos，tantan．3sinsin，coscos，tantan．4sinsin，coscos，tantan．
口诀：函数名称不变，符号看象限．
5sincoscossin22，．
6sincoscossin22，．
口诀：正弦与xxx互换，符号看象限．
ysinx14、函数ysinx的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数
1ysinxysinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的
图象；再将函数
ysinx的图象．
的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数
ysinx1函数ysinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数
ysinxysinx的图象；再将函数ysinx的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数
的图象；再将函数数
ysinx的图象．
的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函
ysinx函数
ysinx0,0的性质：
①振幅：；②周期：函数
2；③频率：
f12；④相位：x；⑤初相：．
ymin；当
ysinxxx1时，取得最小值为
xx2时，取得最大值为
ymax，则
1ymaxy2函数min，
1x2x1x1x2ymaxymin2，2．
15、正弦函数、xxx函数和正切函数的图象与性质：性质ysinxycosxytanx图象定义域RRxxk,k2值域1,1x2k当1,1当R2k时，x2kk时，ymax1；当x2k既无最大值也无最小值最值ymax1x2k；当2k时，ymin1．k时，ymin1．周期性奇偶性xxx函数2偶函数奇函数2k,2k22在k上是增函数；在单调性在2k,2kk上是32k,2k22增函数；在2k,2kk,k22在k上是减函数．k上是增函数．k上是减函数．对称中心对称性k,0k2k,0k2对称中心对称轴xk对称轴
kk,0k2对称中心无对称轴3
xkk16、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量．
单位向量：长度等于1个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量．17、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．⑵平行四边形法则的特点：共起点．
⑶三角形不等式：
ababababcabc⑷运算性质：①交换律：abba；②结合律：；③a00aa．
abx1x2,y1y2ax1,y1bx2,y2C
⑸坐标运算：设，，则．
18、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．⑵坐标运算：设
ax1,y1，
bx2,y2，则
abx1x2,y1y2x1x2y,1y2a
设、两点的坐标分别为19、向量数乘运算：
x1,y1，x2,y2，则．
abCC
aa⑴实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作．
aa；
②当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0．
⑵运算律：①
aaax,y；②
aaa；③．
abab．
⑶坐标运算：设，则
ax,yx,y20、向量共线定理：向量
aa0与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba．
bb0x1y2x2y10b0a设，，其中，则当且仅当时，向量、共线．e1e2a21、平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且
a1e12e2e1e212ax1,y1bx2,y2只有一对实数
、，使．（不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底）
22、分点坐标公式：设点是线段
12上的一点，
2的坐标分别是
x1,y1，x2,y2，当
12时，
x1x2y1y2,11．点的坐标是
23、平面向量的数量积：⑴
ababcosa0,b0,0180．零向量与任一向量的数量积为0．
abab⑵性质：设a和b都是非零向量，则①abab0．②当a与b同向时，；当a与b反向时，22ababababaaaaaaa；
．③．
abcacbcababab⑶运算律：①abba；②；③．
ax1,y1bx2,y2abx1x2y1y2⑷坐标运算：设两个非零向量若
，，则．
ax,y，则
2ax2y2，或
ax2y2．设ax1,y1，
bx2,y2bx,yax,y2211设a、b都是非零向量，，，是a与b的夹角，则
24、两角和与差的正弦、xxx和正切公式：⑴⑶
abx1x2y1y20，则．．
；⑵；⑷
tan⑸
tantan1tantan（tantantan1tantan）；tantan1tantan（tantantan1tantan）．
tan⑹
25、二倍角的正弦、xxx和正切公式：⑴sin22sincos．
，）．
tan2⑶
2tan1tan2．
2226、
sincossintan，其中
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数学必修4知识点总结 第5篇
第一章 集合与函数概念
集合
阅读与思考 集合中元素的个数
函数及其表示
阅读与思考 函数概念的发展历程
函数的基本性质
信息技术应用 用计算机绘制函数图象
实习作业
复习参考题
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
指数函数
信息技术应用 借助信息技术探究指数函数的性质
对数函数
阅读与思考 对数的发明
探究与发现 互为反函数的两个函数图象之间的关系
幂函数
复习参考题
第三章 函数的应用
函数与方程
阅读与思考 中外历史上的方程求解
信息技术应用 借助信息技术求方程的近似解
函数模型及其应用
信息技术应用 收集数据并建立函数模型
实习作业
复习参考题
如何学好高中数学
先看笔记后做作业。有的高中学生感到。老师讲过的，自己已经听得明明白白了。但是，为什么自己一做题就困难重重了呢?其原因在于，学生对教师所讲的内容的理解，还没能达到教师所要求的层次。因此，每天在做作业之前，一定要把课本的有关内容和当天的课堂笔记先看一看。能否坚持如此，常常是好学生与差学生的最大区别。尤其练习题不太配套时，作业中往往没有老师刚刚讲过的题目类型，因此不能对比消化。如果自己又不注意对此落实，天长日久，就会造成极大损失。
数学必修4知识点总结 第6篇
(1).设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间d称为y=f(x)的单调减区间.< p=__>
注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质;
(2)图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A)定义法：○1任取x1，x2∈D，且x1
8.函数的奇偶性
(1)一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.
(2).一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.
注意：○1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质;函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。
2由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，○则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)
(3)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○1首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称;○2确定f(-x)与f(x)的关系;○3作出相应结论：若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0，则f(x)是偶函数;若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0，则f(x)是奇函数.9、函数的解析表达式
(1).函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
(2).求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法;已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围;当已知表达式较简单时，也可用凑配法;若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)。
补充不等式的解法与二次函数(方程)的性质
数学必修4知识点总结 第7篇
◆高中数学必修二知识点
一、平面的基本性质与推论
1、平面的基本性质：
公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内;
公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面;
公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
2、空间点、直线、平面之间的位置关系：
直线与直线-平行、相交、异面;
直线与平面-平行、相交、直线属于该平面(线在面内，最易忽视);
平面与平面-平行、相交。
3、异面直线：
平面外一点A与平面一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线(判定);
xxx的角范围(0，90】度(平移法，作平行线相交得到夹角或其补角);
两条直线不是异面直线，则两条直线平行或相交(反证);
异面直线不同在任何一个平面内。
求异面直线xxx的角：平移法，把异面问题转化为相交直线的夹角
二、空间中的平行关系
1、直线与平面平行(核心)
定义：直线和平面没有公共点
判定：不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面(由线线平行得出)
性质：一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线就和两平面的交线平行
2、平面与平面平行
定义：两个平面没有公共点
判定：一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，则这两个平面平行
性质：两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面;如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
3、常利用三角形中位线、平行四边形对边、已知直线作一平面找其交线
三、空间中的垂直关系
1、直线与平面垂直
定义：直线与平面内任意一条直线都垂直
判定：如果一条直线与一个平面内的两条相交的直线都垂直，则该直线与此平面垂直
性质：垂直于同一直线的两平面平行
推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面
直线和平面xxx的角：【0，90】度，平面内的一条斜线和它在平面内的射影说成的锐角，特别规定垂直90度，在平面内或者平行0度
2、平面与平面垂直
定义：两个平面xxx的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形)是xxx面角(二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线xxx的角)
判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
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◆高中数学必修二重点
1、柱、锥、台、球的结构特征
(1)棱柱：
几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形.
(2)棱锥
几何特征：侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方.
(3)棱台：
几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点
(4)圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转xxx
几何特征：①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形.
(5)圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周xxx
几何特征：①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形.
(6)圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周xxx
几何特征：①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形.
(7)球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一xxx的几xxx
几何特征：①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径.
2、空间几xxx的三视图
定义三视图：正视图(光线从几xxx的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、
俯视图(从上向下)
注：正视图反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体的长度和宽度;侧视图反映了物体的高度和宽度.
3、空间几xxx的直观图——斜二测画法
斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变;
②原来与y轴平行的线段仍然与y平行,长度为原来的一半.
4、柱体、锥体、台体的表面积与体积
(1)几xxx的表面积为几xxx各个面的面积的和.
(2)特殊几xxx表面积公式(c为底面周长,h为高,为斜高,l为母线)
(3)柱体、锥体、台体的体积公式
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◆高中数学必修二要点
①异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线
②异面直线性质：既不平行,又不相交.
③异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线
④异面直线xxx角：作平行,令两线相交,所得锐角或直角,即xxx角.两条异面直线xxx角的范围是(0°,90°],若两条异面直线xxx的角是直角,我们就说这两条异面直线互相垂直.
求异面直线xxx角步骤：
A、利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位置,顶点选在特殊的位置上.B、证明作出的角即为所求角C、利用三角形来求角
(7)等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两角相等或互补.
(8)空间直线与平面之间的位置关系
直线在平面内——有无数个公共点.
三种位置关系的符号表示：aαa∩α=Aa‖α
(9)平面与平面之间的位置关系：平行——没有公共点;α‖β
相交——有一条公共直线.α∩β=b
2、空间中的平行问题
(1)直线与平面平行的判定及其性质
线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行.
线线平行线面平行
线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,
那么这条直线和交线平行.线面平行线线平行
(2)平面与平面平行的判定及其性质
两个平面平行的判定定理
(1)如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行
(线面平行→面面平行),
(2)如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行.
(线线平行→面面平行),
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行,
两个平面平行的性质定理
(1)如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行.(面面平行→线面平行)
(2)如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行.(面面平行→线线平行)
3、空间中的垂直问题
(1)线线、面面、线面垂直的定义
①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线xxx的角是直角,就说这两条异面直线互相垂直.
②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,就说这条直线和这个平面垂直.
③平面和平面垂直：如果两个平面相交,xxx的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形)是xxx面角(平面角是直角),就说这两个平面垂直.
(2)垂直关系的判定和性质定理
①线面垂直判定定理和性质定理
判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面.
性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.
②面面垂直的判定定理和性质定理
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.
性质定理：如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面.
4、空间角问题
(1)直线与直线xxx的角
①两平行直线xxx的角：规定为.
②两条相交直线xxx的角：两条直线相交其中不大于直角的角,叫这两条直线xxx的角.
③两条异面直线xxx的角：过空间任意一点O,分别作与两条异面直线a,b平行的直线,形成两条相交直线,这两条相交直线xxx的不大于直角的角叫做两条异面直线xxx的角.
(2)直线和平面xxx的角
①平面的平行线与平面xxx的角：规定为.②平面的垂线与平面xxx的角：规定为.
③平面的斜线与平面xxx的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影xxx的锐角,叫做这条直线和这个平面xxx的角.
求斜线与平面xxx角的思路类似于求异面直线xxx角：“一作,二证,三计算”.
在“作角”时依定义关键作射影,由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线,
在解题时,注意挖掘题设中两个主要信息：(1)斜线上一点到面的垂线;(2)过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直,由面面垂直性质易得垂线.
(3)二面角和二面角的平面角
①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.
②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线xxx的角叫二面角的平面角.
③xxx面角：平面角是直角的二面角叫xxx面角.
两相交平面如果所组成的二面角是xxx面角,那么这两个平面垂直;反过来,如果两个平面垂直,那么xxx的二面角为xxx面角
④求二面角的方法
定义法：在棱上选择有关点,过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角
垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个面的交线xxx的角为二面角的平面角
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数学必修4知识点总结 第8篇
2.函数：映射与函数、函数解析式与定义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数函数、对数函数、函数的应用
3.数列：数列的有关概念、等差数列、等比数列、数列求通项、求和
4.三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、和差倍半公式、求值、化简、证明、三角函数的图像及其性质、应用
5.平面向量:初等运算、坐标运算、数量积及其应用
6.不等式：概念与性质、均值不等式、不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式(经常出现在大题的选做题里)、不等式的应用
7.直线与圆的方程：直线的方程、两直线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系
8.圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用
9.直线、平面、简单几xxx：空间直线、直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球、空间向量
10.排列、组合和概率：排列、组合应用题、二项式定理及其应用
11.概率与统计：概率、分布列、期望、方差、抽样、正态分布
12.导数：导数的概念、求导、导数的应用
13.复数：复数的概念与运算
数学必修4知识点总结 第9篇
集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
(1)定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。记作：(或BA)
注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;
(2)A与B是同一集合。
反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA
2.“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)
实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”
即：① 任何一个集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A?B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA) 或若集合A?B，存在xB且x A，则称集合A是集合B的真子集。
③如果A?B, B?C ,那么A?C
④ 如果A?B 同时B?A那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定:空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集
数学必修4知识点总结 第10篇
为了书写方便，我们规定常见的数集用特定的字母表示，下面是几种常见的数集表示方法，请牢记。
(1)全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集)，记做N。
(2)非负整数集内排出0的集合，也称正整数集，记做N_或N+。
(3)全体整数的集合通常简称为整数集Z。
(4)全体有理数的集合通常简称为有理数集，记做Q。
(5)全体实数的集合通常简称为实数集，记做R。
数学必修4知识点总结 第11篇
①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an-1b1+Cn2an-2b2+Cn3an-3b3+…+Cnran-rbr+-…+Cnn-1abn-1+Cnnbn
特别地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn
②主要性质和主要结论：对称性Cnm=Cnn-m
二项式系数在中间。(要注意n为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项)
所有二项式系数的和：Cn0+Cn1+Cn2+Cn3+Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n
奇数项二项式系数的和=偶数项而是系数的和
Cn0+Cn2+Cn4+Cn6+Cn8+…=Cn1+Cn3+Cn5+Cn7+Cn9+…=2n-1
③通项为第r+1项：Tr+1=Cnran-rbr作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。
数学必修4知识点总结 第12篇
了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.
(2)一元二次不等式
会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.
通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.
会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.
(3)二元一次不等式组与简单线性规划问题
会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.
了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组.
会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.
(4)基本不等式：
了解基本不等式的证明过程.
会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点
数学必修4知识点总结 第13篇
1、函数的奇偶性的定义：对于函数f(x)，如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))，那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函数).
正确理解奇函数和偶函数的定义，要注意两点：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式.(奇偶性是函数定义域上的整体性质).
2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。为了便于判断函数的奇偶性，有时需要将函数化简或应用定义的等价形式。
数学必修4知识点总结 第14篇
1.“包含”关系—子集
注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。
反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA
2.“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)
实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同”
结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B
①任何一个集合是它本身的子集。AíA
②真子集:如果AíB,且A1B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)
③如果AíB,BíC,那么AíC
④如果AíB同时BíA那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
数学必修4知识点总结 第15篇
1、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下：
(1)直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域.
(2)换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元.
(3)反函数法：利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如(a≠0)的函数值域可采用此法求得.
(4)配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法.
(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧.
(6)判别式法：把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式.
(7)利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性，可采用单调性法求出函数的值域.
(8)数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域.
2、求函数的最值与值域的区别和联系
求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同，因而答题的方式就有所相异.
如函数的值域是(0，16]，最大值是16，无最小值.再如函数的值域是(-∞，-2]∪[2，+∞)，但此函数无最大值和最小值，只有在改变函数定义域后，如x>0时，函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响.
3、函数的最值在实际问题中的应用
函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润最大”或“面积(体积)最大(最小)”等诸多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值.
数学必修4知识点总结 第16篇
定义：x轴正向与直线向上方向之间xxx的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α<180°
2、直线的斜率
①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率xxx表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。
②过两点的直线的斜率公式：
注意下面四点：
（1）当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；
（2）k与P1、P2的顺序无关；
（3）以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；
（4）求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
数学必修4知识点总结 第17篇
轨迹，包含两个方面的问题：凡在轨迹上的点都符合给定的条件，这叫做轨迹的纯粹性(也叫做必要性);凡不在轨迹上的点都不符合给定的条件，也就是符合给定条件的点必在轨迹上，这叫做轨迹的完备性(也叫做充分性)。
一、求动点的轨迹方程的基本步骤。
1、建立适当的坐标系，设出动点M的坐标;
2、写出点M的集合;
3、列出方程=0;
4、化简方程为最简形式;
5、检验。
二、求动点的轨迹方程的常用方法：求轨迹方程的方法有多种，常用的有直译法、定义法、相关点法、参数法和交轨法等。
1、直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法通常叫做直译法。
2、定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程，这种求轨迹方程的方法叫做定义法。
3、相关点法：用动点Q的坐标x，y表示相关点P的坐标x0、y0，然后代入点P的坐标(x0，y0)所满足的曲线方程，整理化简便得到动点Q轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关点法。
4、参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一变数t的关系，得再消去参变数t，得到方程，即为动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做参数法。
5、交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做交轨法。
数学必修4知识点总结 第18篇
一、直线与方程
(1)直线的倾斜角
定义：x轴正向与直线向上方向之间xxx的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0180
(2)直线的斜率
①定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率xxx表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当时，。当时，;当时，不存在。
②过两点的直线的斜率公式：
注意下面四点：
(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90
(2)k与P1、P2的顺序无关;
(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
(3)直线方程
①点斜式：直线斜率k，且过点
注意：当直线的斜率为0时，k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。
②斜截式：，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b
③两点式：()直线两点，
④截矩式：其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。
⑤一般式：(A，B不全为0)
⑤一般式：(A，B不全为0)
注意：○1各式的适用范围
○2特殊的方程如：平行于x轴的直线：(b为常数);平行于y轴的直线：(a为常数);
(4)直线系方程：即具有某一共同性质的直线
(一)平行直线系
平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系：(C为常数)
(二)过定点的直线系
(ⅰ)斜率为k的直线系：直线过定点;
(ⅱ)过两条直线，的交点的直线系方程为(为参数)，其中直线不在直线系中。
(5)两直线平行与垂直;
注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。
(6)两条直线的交点
相交：交点坐标即方程组的一组解。方程组无解;方程组有无数解与重合
(7)两点间距离公式：设是平面直角坐标系中的两个点，则
(8)点到直线距离公式：一点到直线的距离
(9)两平行直线距离公式：在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。
数学必修4知识点总结 第19篇
1.向量可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向;线段长度：代表向量的大小。
2.规定若线段AB的端点A为起点，B为终点，则线段就具有了从起点A到终点B的方向和长度。具有方向和长度的线段叫做有向线段。
3.向量的模：向量的大小，也就是向量的长度(或称模)。向量a的模记作|a|。
注：向量的模是非负实数，是可以比较大小的。因为方向不能比较大小，所以向量也就不能比较大小。对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。
4.单位向量：长度为一个单位(即模为1)的向量，叫做单位向量.与向量a同向，且长度为单位1的向量，叫做a方向上的单位向量，记作a0。
5.长度为0的向量叫做零向量，记作0。零向量的始点和终点重合，所以零向量没有确定的方向，或说零向量的方向是任意的。
向量的计算
1.加法
交换律：a+b=b+a;
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2.减法
如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=的反向量为0
加减变换律：a+(-b)=a-b
3.数量积
定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作θ并规定0≤θ≤π
向量的数量积的运算律
a·b=b·a(交换律)
(λa)·b=λ(a·b)(关于数乘法的.结合律)
(a+b)·c=a·c+b·c(分配律)
向量的数量积的性质
a·a=|a|的平方。
a⊥b〈=〉a·b=0。
|a·b|≤|a|·|b|。(该公式证明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因为0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|)
数学必修4知识点总结 第20篇
一、集合有关概念
1.集合的含义
2.集合的中元素的三个特性：
(1)元素的确定性如：世界上最高的山
(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3)元素的无序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示：{…}如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法：列举法与描述法。
注意：常用数集及其记法：
非负整数集(即自然数集)记作：N
正整数集：Nx或N+
整数集：Z
有理数集：Q
实数集：R
1)列举法：{a,b,c……}
2)描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合{x?R|x-3>2},{x|x-3>2}
3)语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
4)Venn图:
4、集合的分类：
(1)有限集含有有限个元素的集合
(2)无限集含有无限个元素的集合
(3)空集不含任何元素的集合
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意：有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。
反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA
2.“相等”关系：A=B(5≥5，且5≤5，则5=5)
实例：设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”
即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A?B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)
③如果A?B,B?C,那么A?C
④如果A?B同时B?A那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
4.子集个数：
有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集，含有2n-1个非空子集，含有2n-1个非空真子集
三、集合的运算
运算类型交集并集补集
定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作AB(读作‘A交B’)，即AB={x|xA，且xB｝.
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集.记作：AB(读作‘A并B’)，即AB={x|xA，或xB}).
基本初等函数
一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算
1.根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次xxx(nthroot)，其中>1，且∈.
当是奇数时，正数的次xxx是一个正数，负数的次xxx是一个负数.此时，的次xxx用符号表示.式子叫做根式(radical)，这里叫做根指数(radicalexponent)，叫做被开方数(radicand).
当是偶数时，正数的次xxx有两个，这两个数互为相反数.此时，正数的正的次xxx用符号表示，负的次xxx用符号-表示.正的次xxx与负的次xxx可以合并成±(>0).由此可得：负数没有偶次xxx;0的任何次xxx都是0，记作。
注意：当是奇数时，当是偶数时，
2.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.
3.实数指数幂的运算性质
(二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数(exponential)，其中x是自变量，函数的定义域为R.
注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1.
2、指数函数的图象和性质
函数的应用
1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。
2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：
方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点.
3、函数零点的求法：
求函数的零点：
1(代数法)求方程的实数根;
2(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.
4、二次函数的零点：
二次函数.
1)△>0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点.
2)△=0，方程有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.
3)△<0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点.
必修一函数重点知识整理1. 函数的奇偶性
(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x) ;
(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则 f(0)=0(可用于求参数);
(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或 (f(x)≠0);
(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;
(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;
2. 复合函数的有关问题
(1)复合函数定义域求法：若已知 的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域(即 f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。
(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;
3.函数图像(或方程曲线的对称性)
(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;
(2)证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然;
(3)曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);
(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b-y)=0;
(5)若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a-x)xxx，则y=f(x)图像关于直线x=a对称;
(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x= 对称;
4.函数的周期性
(1)y=f(x)对x∈R时，f(x +a)=f(x-a) 或f(x-2a )=f(x) (a>0)xxx,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;
(2)若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;
(3)若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数;
(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2 的周期函数;
(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2 的周期函数;
(6)y=f(x)对x∈R时，f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)= ，则y=f(x)是周期为2 的周期函数;
5.方程k=f(x)有解 k∈D(D为f(x)的值域);
≥f(x) xxx a≥[f(x)]max,; a≤f(x) xxx a≤[f(x)]min;
7.(1) (a>0,a≠1,b>0,n∈R+);
(2) l og a N= ( a>0,a≠1,b>0,b≠1);
(3) l og a b的符号由口诀“同正异负”记忆;
(4) a log a N= N ( a>0,a≠1,N>0 );
8. 判断对应是否为映射时，抓住两点：
(1)A中元素必须都有象且唯一;(2)B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象;
9. 能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。
10.对于反函数，应掌握以下一些结论：(1)定义域上的单调函数必有反函数;(2)奇函数的反函数也是奇函数;(3)定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;(4)周期函数不存在反函数;(5)互为反函数的两个函数具有相同的单调性;(5) y=f(x)与y=f-1(x)互为反函数，设f(x)的定义域为A，值域为B，则有f[f--1(x)]=x(x∈B),f--1[f(x)]=x(x∈A).
11.处理二次函数的问题勿忘数形结合;二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：一看开口方向;二看对称轴与所给区间的相对位置关系;
12. 依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题
13. xxx问题的处理方法：(1)分离参数法;(2)转化为一元二次方程的根的分布列不等式(组)求解;
数学必修4知识点总结 第21篇
一、高中数列基本公式：
1、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=
2、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是xxx的一次式;当d=0时，an是一个常数。
3、等差数列的前n项和公式：Sn=
Sn=
Sn=
当d≠0时，Sn是xxx的二次式且常数项为0;当d=0时(a1≠0)，Sn=na1是xxx的正比例式。
4、等比数列的通项公式： an= a1qn-1an= akqn-k
(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)
5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是xxx的正比例式);
当q≠1时，Sn=
Sn=
二、高中数学中有关等差、等比数列的结论
1、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍为等差数列。
2、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则
3、等比数列{an}中，若m+n=p+q，则
4、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍为等比数列。
5、两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列。
6、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列仍为等比数列。
7、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。
8、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。
9、三个数成等差数列的设法：a-d,a,a+d;四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d
10、三个数成等比数列的设法：a/q,a,aq;
四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么?)
数学必修4知识点总结 第22篇
一、集合有关概念
1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性：元素的确定性;元素的互异性;元素的无序性.
3、集合的表示：
(1)如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(2).用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
4、集合的表示方法：列举法与描述法。
常用数集及其记法：非负整数集(即自然数集)记作：N正整数集N=或N+整数集Z有理数集Q实数集R
5.关于“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作a∈A，相反，a不属于集合A记作a?A
列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
6、集合的分类：
(1)有限集含有有限个元素的集合
(2)无限集含有无限个元素的集合
(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=-5｝=Φ
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集注意：A?B有两种可能(1)A是B的一部分，;(2)A与B是同一集合。反之:集?B或B??A合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?
2.“相等”关系:对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B
①任何一个集合是它本身的子集。即A?A
②如果A?B,且A?B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或BA)
③如果A?B,B?C,那么A?C
④如果A?B同时B?A那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。三、集合的运算
1.交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.
记作A∩B(读作_A交B_)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}.
2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。记作：A∪B(读作_A并B_)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}.
3、交集与并集的性质：A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A，A∪A=A,
A∪φ=A,A∪B=B∪A.
4、全集与补集
(1)补集：设S是一个集合，A是S的一个子集(即A?S)，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集(或余集)记作：CSA即CSA={x?x?S且x?A}
(2)全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，看作一个全集。通常用xxx表示。
(3)性质：⑴CU(CUA)=A⑵(CUA)∩A=Φ⑶(CUA)∪A=U二、函数的有关概念
合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次xxx的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
2.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
再注意：
(1)由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等(或为同一函数)
(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。
相同函数的判断方法：
①表达式相同;
②定义域一致(两点必须同时具备)
3.区间的概念
(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间;
(2)无穷区间;
(3)区间的`数轴表示
4.映射一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A?B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A?B”
给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象
说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是确定的;②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的;③对于映射f：A→B来说，则应满足：(Ⅰ)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的;(Ⅱ)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个;(Ⅲ)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
5.常用的函数表示法:解析法：图象法：列表法：
6.分段函数在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(1)分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数;
(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集
数学必修4知识点总结 第23篇
①异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线
②异面直线性质：既不平行，又不相交。
③异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线
④异面直线xxx角：作平行，令两线相交，所得锐角或直角，即xxx角。两条异面直线xxx角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线xxx的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。
求异面直线xxx角步骤：
A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。B、证明作出的角即为所求角C、利用三角形来求角
（7）等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。
（8）空间直线与平面之间的位置关系
直线在平面内――有无数个公共点。
三种位置关系的符号表示：aαa∩α=Aa‖α
（9）平面与平面之间的位置关系：平行――没有公共点；α‖β
相交――有一条公共直线。α∩β=b
2、空间中的平行问题
（1）直线与平面平行的判定及其性质
线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行。
线线平行线面平行
线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，
那么这条直线和交线平行。线面平行线线平行
（2）平面与平面平行的判定及其性质
两个平面平行的判定定理
（1）如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行
（线面平行→面面平行），
（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。
（线线平行→面面平行），
（3）垂直于同一条直线的`两个平面平行，
两个平面平行的性质定理
（1）如果两个平面平行，那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。（面面平行→线面平行）
（2）如果两个平行平面都和第三个平面相交，那么它们的交线平行。（面面平行→线线平行）
3、空间中的垂直问题
（1）线线、面面、线面垂直的定义
①两条异面直线的垂直：如果两条异面直线xxx的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直。
②线面垂直：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，就说这条直线和这个平面垂直。
③平面和平面垂直：如果两个平面相交，xxx的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是xxx面角（平面角是直角），就说这两个平面垂直。
（2）垂直关系的判定和性质定理
①线面垂直判定定理和性质定理
判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直这个平面。
性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
②面面垂直的判定定理和性质定理
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。
4、空间角问题
（1）直线与直线xxx的角
①两平行直线xxx的角：规定为。
②两条相交直线xxx的角：两条直线相交其中不大于直角的角，叫这两条直线xxx的角。
③两条异面直线xxx的角：过空间任意一点O，分别作与两条异面直线a，b平行的直线，形成两条相交直线，这两条相交直线xxx的不大于直角的角叫做两条异面直线xxx的角。
（2）直线和平面xxx的角
①平面的平行线与平面xxx的角：规定为。②平面的垂线与平面xxx的角：规定为。
③平面的斜线与平面xxx的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影xxx的锐角，叫做这条直线和这个平面xxx的角。
求斜线与平面xxx角的思路类似于求异面直线xxx角：“一作，二证，三计算”。
在“作角”时依定义关键作射影，由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线，
在解题时，注意挖掘题设中两个主要信息：（1）斜线上一点到面的垂线；（2）过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直，由面面垂直性质易得垂线。
（3）二面角和二面角的平面角
①二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。
②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线xxx的角叫二面角的平面角。
③xxx面角：平面角是直角的二面角叫xxx面角。
两相交平面如果所组成的二面角是xxx面角，那么这两个平面垂直；反过来，如果两个平面垂直，那么xxx的二面角为xxx面角
④求二面角的方法
定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角
垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个面的交线xxx的角为二面角的平面角
数学必修4知识点总结 第24篇
基本初等函数有哪些
基本初等函数包括以下几种：
(1)常数函数y = c( c为常数)
(2)幂函数y = x^a( a为常数)
(3)指数函数y = a^x(a>0, a≠1)
(4)对数函数y =log(a) x(a>0, a≠1，真数x>0)
(5)三角函数以及反三角函数(如正弦函数：y =sinx反正弦函数：y = arcsin x等)
基本初等函数性质是什么
幂函数
形如y=x^a的函数，式中a为实常数。
指数函数
形如y=a^x的函数，式中a为不等于1的正常数。
对数函数
指数函数的反函数，记作y=loga a x，式中a为不等于1的正常数。指数函数与对数函数之间成立关系式，loga ax=x。
三角函数
即正弦函数y=sinx，xxx函数y=cosx，正切函数y=tanx，余切函数y=cotx，正割函数y=secx，余割函数y=cscx(见三角学)。
反三角函数
数学必修4知识点总结 第25篇
通假字
一、指出下列句中的通假字并解释。
1、秦xxx以十五城请易寡人之璧，可与不?(“不”通“否”，表疑问语气)
2、拜送书xxx。(“庭”通“廷”，朝廷)
3、召有司案图。(“案，通“按”，审察、察看)
4、xxx公以来二十余君，未尝有坚明约束者也。(“缪”通“穆”)
5、唯大xxx与群臣孰计议之。(“孰”通“熟”，仔细)
6、不顾思义，畔主背亲(“畔”通“叛”，背叛)
7、武卧啮雪，与旃毛并咽之，数日不死。(“旃”通“毡”，毛织的毡毯)
8、掘野鼠去草实而食之。(“去”通“弆”，收藏)
9、空自苦亡人之地。(“亡”通“无”，没有)
10、信义安所见乎?(“见”通‘现”，显现)
11、法令亡常(“亡”通“无”，没有)
12、大臣亡罪夷灭者数十家(“亡”通“无”，没有)
13、武父子亡功德(“亡”通“无”，没有)
14、因泣下霑衿，与武决去。(“霑”通“沾”，沾湿。“衿”通“襟”，衣襟。“决”通“诀”诀别，辞别。)
15、请毕今日之驩，效死于前。(“驩”通“欢”，欢聚)
16、前以降及物故。(“以”通“已”，已经)
17、阴知奸xxx姓，一时收禽。(“禽”通“擒”，逮捕，拘押)
18、以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文山龟鸟兽之形。
(“员”通“圆”，直径;“尊”通“樽”，酒杯)
一词xxx
二、解释指定词的词义。
负：①秦贪，负其强。(倚仗，凭借)②均之二策，宁许以负秦曲。(使…承担)
③臣诚恐见欺于xxx负xxx。(辜负，对不起)④廉颇闻之，肉袒负荆。(背着)
⑤xxx度xxx斋，决负约不偿城。(违背)
使：①秦昭xxx闻之，使人遗xxxxxx书(派)②其人勇士，有智谋，宜可使(出使)
③乃使其从者衣褐(让)④大xxx乃遣一介之使(使臣)
⑤单于使使晓武(派)(使者)
引：①不宜妄自菲薄，引喻失义(援引，引用)②左右欲引xxx去(牵，拉)
③xxx引车避匿(牵，拉;引申为调转)④引xxx使者xxx(引见，延请)
徒：①秦城恐不可得，徒见欺(白白地)
②而xxx徒以口舌为劳(只，只不过)
幸：①大xxx亦幸赦臣(幸好，侥幸)
②而君幸于xxxxxx(宠幸)
以：①以xxx于诸侯(凭)②愿以十五城请易璧(用，拿)
③严大国之威以修敬也(而，连词)④则请立太子为xxx，以绝xxx。(用来)
⑤吾所以为此者，以先国家之急而后私仇也(因为)
固：①xxx其破璧，乃辞谢，固请(坚决，坚持，执意)
②固国不以山溪之险(巩固)
③汝心之固，固不可彻(顽固，固执)
④而戍死者固十六七(本来)
⑤秦孝公据崤函之固(坚固，特指地形险要和城xxx，易守难攻。)
观：①观太学(观摩学习)②大xxx列观(殿堂)
③而世之奇伟瑰怪非常之观(景象)④玄都观里桃千树(道士庙)
⑤启窗而观(看)
征：①公车特征拜郎中(征召)②咸怪其无征(证明)
③挟天子以征四方(征伐)④岁征民间(征收)
因：①因人京师(连词，表顺承关系，于是，接着)
②振声激扬.伺者因此觉知。(介词，由，从)
③君因我降，与君为兄弟(介词，通过)
④久之，单于使陵至海上，为武置酒设乐。因谓武曰(介词，趁、乘机)
⑤因泣下沾襟，与武决去。(就、因此，连词，表示顺承)
⑥因宾客至xxx门前谢罪(介词，通过、经由)
以：xxx以始元六年春至京师(以：在……的时候)
②匈奴以为神(把)
③且以xxx故逆强秦之欢(因为)
④xxx度xxx以诈佯为予xxx城(用)
⑤今以秦之强而先割十五xxxxxx(凭)
乃：①十年乃成(才)②问今是xxx，乃不知有汉，无论魏晋(竟然、却)
③遂乃研核阴阳(就)④政通人和，百废俱兴，乃重修岳阳楼(于是)
辟：①连辟公府不就(征召)②其北陵，xxx之所辟风雨也.(通“避”，躲避)
③唇吻拿辟仁开，打开)④辟病梅之馆以贮之(开辟，开设)
⑤辟邪说(排除，驳斥)⑥疆土之新辟者(开垦)
制：①其牙机巧制(制作，构造)②秦有余力而制其弊(制服，控制)
③xxx……xxx奢之伦制其兵(统率，指挥)④乃重修岳阳楼，增其旧制(规模)
古今异义词
三、解释下列加横线的古今异义词在句中的意思。
1、拜为上卿(被授予官职)
2、欲勿与，即患秦兵之来(忧虑，担心)
3、请以咸阳为xxxxxx寿(向人敬酒或献礼)
4、请指示xxx(指给……看)
5、臣所以去亲戚而事君者(离开)(亲人，包括父母和内外亲属)
6、于是xxx前进击(上前进献)
7、布衣之交(平民)
8、传以示美人及左右(指秦xxx的嫔妃)(指近臣和侍从)
9、宣言曰：我见xxx，必辱之(扬言，到处说)
10、汉亦留之以相当。(抵押)
11、闻汉天子甚怨卫律(痛恨)
12、皆为陛下xxx就。(栽培，提拔)
13、我丈人行也。(老人，长辈)
14、欲因此时降武。(趁这时)
15、独有女弟二人(妹妹。今一般不连用。)
16、且陛下春秋高(年纪。今义：春秋战国时期或指季节。)
17、武等实在(古义：确实存在。今义：诚实、老实。)
18、稍迁至移中厩监(古义：渐渐。今义：稍微。)
19、既至匈奴，置币遗单于。(财物)
20、会缑xxx与长水xxx等谋反匈奴中(正当、适逢)
21、兄弟亲近，常愿肝脑涂地(亲近的侍臣)
22、公车特征拜郎中。(特地征召)
23、武父子亡功德，皆为陛下xxx就。(栽培，提拔)
24、扶辇下除，触柱折辕。(殿阶)
25、xxxxxx骘奇其才，累召不应。(不应召)
26、衡下车，治威严，整法度。(官吏初到任)
27、永元中，举孝廉不行，连辟公府不就。(不应荐)
词类活用
四、指出下列加点词的词类活用情况并解释。
1、舍xxx广成传舍(舍：名词作动词，安置住宿)
2、左右欲刃xxx(刃：名词作动词，用刀杀)
3、乃使从者衣褐(衣：名词作动词，穿)
4、而xxx庭斥之(庭：通“廷”，名词作状语，在朝廷上)
5、故令人持璧归，间至xxx矣(间：名词作状语，从小路)
6、完璧归xxx(完：使动用法，使……完整)
6、xxx其破璧(破：使动用法，使……破碎)
7、宁许以负秦曲(负：使动用法，使……承担)
8、xxx而归之(归：使动用法，使……回去)
9、且庸人尚羞之(羞：意动用法，以……为羞耻)
10、先国家之急而后私仇也(先：意动用法，以……为先;后：以……为后)
11、严大国之威以修敬也(严：形容词作动词，尊重)
12、不知将军宽之至此也(宽：形容词作动词，宽待)
13、单于壮其节(壮：形容词的意动用法，以……为壮，认为……壮。)
14、常能为汉伏弩射杀之(弩：名词作状语，用弩弓)
14、缑xxx等皆死，xxx生得。(生得：被活捉)
15、虽蒙斧钺xxx，诚甘乐之(乐：形容词的意动用法，以……为乐。
15、欲因此时降武(降：使……投降)
16、空以身膏草野，谁复知之!(膏：使动用法，使……滋润肥美)
17、反欲斗两主(斗：使动用法，使……相斗)
18、单于愈益欲降之(降：使动用法，使……投降)
19、人生如朝露，xxx自苦如此!(苦：形容词作动词，折磨)
20、天雨雪(雨：名词作动词，下)
21、羝乳乃得归(乳：名词作动词，生子)
22、杖汉节牧羊(杖：名词作动词，执，拄)
数学必修4知识点总结 第26篇
(一)导数第一定义
设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个领域内有定义，当自变量 x 在 x0 处有增量 △x ( x0 + △x 也在该邻域内 ) 时，相应地函数取得增量 △y = f(x0 + △x) - f(x0) ;如果 △y 与 △x 之比当 △x→0 时极限存在，则称函数 y = f(x) 在点 x0 处可导，并称这个极限值为函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数记为 f(x0) ,即导数第一定义
(二)导数第二定义
设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个领域内有定义，当自变量 x 在 x0 处有变化 △x ( x - x0 也在该邻域内 ) 时，相应地函数变化 △y = f(x) - f(x0) ;如果 △y 与 △x 之比当 △x→0 时极限存在，则称函数 y = f(x) 在点 x0 处可导，并称这个极限值为函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数记为 f(x0) ,即 导数第二定义
(三)导函数与导数
如果函数 y = f(x) 在开区间 I 内每一点都可导，就称函数f(x)在区间 I 内可导。这时函数 y = f(x) 对于区间 I 内的每一个确定的 x 值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数 y = f(x) 的导函数，记作 y, f(x), dy/dx, df(x)/dx。导函数简称导数。
(四)单调性及其应用
1.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤
(1)求f(x)
(2)确定f(x)在(a，b)内符号 (3)若f(x)>0在(a，b)上xxx，则f(x)在(a，b)上是增函数;若f(x)<0在(a，b)上xxx，则f(x)在(a，b)上是减函数
2.用导数求多项式函数单调区间的一般步骤
(1)求f(x)
(2)f(x)>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间; f(x)<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间
学习了导数基础知识点，接下来可以学习高二数学中涉及到的导数应用的部分。
数学必修4知识点总结 第27篇
2.复数中的难点
(1)复数的向量表示法的运算.对于复数的向量表示有些学生掌握得不好，对向量的运算的几何意义的灵活掌握有一定的困难.对此应认真体会复数向量运算的几何意义，对其灵活地加以证明.
(2)复数三角形式的乘方和开方.有部分学生对运算法则知道，但对其灵活地运用有一定的困难，特别是开方运算，应对此认真地加以训练.
(3)复数的辐角主值的求法.
(4)利用复数的几何意义灵活地解决问题.复数可以用向量表示，同时复数的模和辐角都具有几何意义，对他们的理解和应用有一定难度，应认真加以体会.
3.复数中的重点
(1)理解好复数的概念，弄清实数、虚数、纯虚数的不同点.
(2)熟练掌握复数三种表示法，以及它们间的互化，并能准确地求出复数的模和辐角.复数有代数，向量和三角三种表示法.特别是代数形式和三角形式的互化，以及求复数的模和辐角在解决具体问题时经常用到，是一个重点内容.
(3)复数的三种表示法的各种运算，在运算中重视共轭复数以及模的有关性质.复数的运算是复数中的主要内容，掌握复数各种形式的运算，特别是复数运算的几何意义更是重点内容.
(4)复数集中一元二次方程和二项方程的解法.
数学必修4知识点总结 第28篇
高中数学必修二知识点总结
高中数学必修二知识点
一、直线与方程
(1)直线的倾斜角
定义:x轴正向与直线向上方向之间xxx的角叫直线的倾斜角.特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度.因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180°
(2)直线的斜率
①定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率xxx表示.即 .斜率反映直线与轴的倾斜程度.
当 时, ; 当 时, ; 当 时, 不存在.
②过两点的直线的斜率公式:
注意下面四点:(1)当 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°;
(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;
(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到.
(3)直线方程
①点斜式: 直线斜率k,且过点
注意:当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1.
当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1.
②斜截式: ,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b
③两点式: ( )直线两点 ,
④截矩式:
其中直线 与 轴交于点 ,与 轴交于点 ,即 与 轴、 轴的截距分别为 .
⑤一般式: (A,B不全为0)
注意:各式的适用范围 特殊的方程如:
平行于x轴的直线: (b为常数);平行于y轴的直线: (a为常数);
(5)直线系方程:即具有某一共同性质的直线
(一)平行直线系
平行于已知直线 ( 是不全为0的常数)的直线系: (C为常数)
(二)垂直直线系
垂直于已知直线 ( 是不全为0的常数)的直线系: (C为常数)
(三)过定点的直线系
(ⅰ)斜率为k的直线系: ,直线过定点 ;
(ⅱ)过两条直线 , 的交点的直线系方程为
( 为参数),其中直线 不在直线系中.
(6)两直线平行与垂直
当 , 时,
注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否.
(7)两条直线的交点
交点坐标即方程组 的一组解.
方程组无解 ; 方程组有无数解 与 重合
(8)两点间距离公式:设 是平面直角坐标系中的两个点,
(9)点到直线距离公式:一点 到直线 的距离
(10)两平行直线距离公式
在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解.
二、圆的方程
1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径.
2、圆的方程
(1)标准方程 ,圆心 ,半径为r;
(2)一般方程
当 时,方程表示圆,此时圆心为 ,半径为
当 时,表示一个点; 当 时,方程不表示任何图形.
(3)求圆方程的方法:
一般都采用待定系数法:先设后求.确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,
需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;
另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置.
3、直线与圆的位置关系:
直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况:
(1)设直线 ,圆 ,圆心 到l的距离为 ,则有 ; ;
(2)过圆外一点的切线:①k不存在,验证是否成立②k存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,求解k,得到方程【一定两解】
(3)过圆上一点的切线方程:圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2
4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定.
设圆 ,
两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定.
当 时两圆外离,此时有公切线四条;
当 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条;
当 时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线;
当 时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线;
当 时,两圆内含; 当 时,为同心圆.
注意:已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线
圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点
三、立体几何初步
数学必修4知识点总结 第29篇
一、平面的基本性质与推论
1、平面的基本性质：
公理1如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内；
公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；
公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
2、空间点、直线、平面之间的位置关系：
直线与直线―平行、相交、异面；
直线与平面―平行、相交、直线属于该平面（线在面内，最易忽视）；
平面与平面―平行、相交。
3、异面直线：
平面外一点A与平面一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线（判定）；
xxx的角范围（0，90）度（平移法，作平行线相交得到夹角或其补角）；
两条直线不是异面直线，则两条直线平行或相交（反证）；
异面直线不同在任何一个平面内。
求异面直线xxx的角：平移法，把异面问题转化为相交直线的夹角
二、空间中的平行关系
1、直线与平面平行（核心）
定义：直线和平面没有公共点
判定：不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面（由线线平行得出）
性质：一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线就和两平面的交线平行
2、平面与平面平行
定义：两个平面没有公共点
判定：一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，则这两个平面平行
性质：两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面；如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
3、常利用三角形中位线、平行四边形对边、已知直线作一平面找其交线
三、空间中的垂直关系
1、直线与平面垂直
定义：直线与平面内任意一条直线都垂直
判定：如果一条直线与一个平面内的两条相交的直线都垂直，则该直线与此平面垂直
性质：垂直于同一直线的两平面平行
推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面
直线和平面xxx的角：【0，90】度，平面内的一条斜线和它在平面内的射影说成的锐角，特别规定垂直90度，在平面内或者平行0度
2、平面与平面垂直
定义：两个平面xxx的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是xxx面角（二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线xxx的角）
判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
数学必修4知识点总结 第30篇
形如a+bi(a，b∈R)的数叫复数，其中i叫做虚数单位。全体复数xxx的集合叫做复数集，用字母C表示。
复数的表示：
复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。
复数的几何意义：
(1)复平面、实轴、虚轴：
点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数
(2)复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点xxx的集合是一一对应关系，即
这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。
这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。
复数的模：
复数z=a+bi(a、b∈R)在复平面上对应的点Z(a，b)到原点的距离叫复数的模，记为|Z|，即|Z|=
虚数单位i：
(1)它的平方等于-1，即i2=-1;
(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立
(3)i与-1的关系：i就是-1的一个平xxx，即xxx2=-1的一个根，xxx2=-1的另一个根是-i。
(4)i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1。
复数模的性质：
复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：
对于复数a+bi(a、b∈R)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a;当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时，z就是实数0。
数学必修4知识点总结 第31篇
高中政治必修四知识点：唯物辩证法的联系观(唯物辩证法的联系观部分)
1、世界是普遍联系的。(提示：联系的观点包括联系的普遍性、联系客观性、联系多样性)
(1)什么是联系?事物之间以及事物内部诸要素之间的相互影响、相互制约和相互作用。
(2)联系的普遍性：世界上的一切事物都与周围其他事物有着这样或那样的联系。世界是一个普遍联系的有机整体，是一幅由种.种联系交织起来的画面。其中没有一个事物是孤立存在的。
(3)联系的客观性：联系是事物本身固有的，不以人的意志为转移。(方法论)它要求我们，要从事物固有的联系中把握事物，切忌主观随意性。
(4)联系的多样性：世界上的事物千差万别，事物的联系也是多种多样的。(方法论)它要求我们，要注意分析和把握事物存在和发展的各种条件;一切以时间、地点、条件为转移。
2、坚持整体与部分的统一。
(1)整体与部分是相互区别的。含义不同;地位、作用、功能不同。
(2)整体与部分是相互联系、密不可分的。部分离不开整体;整体离不开部分;关键的部分可以决定整体的功能。
(3)方法论：我们应当树立全局观念：立足整体，统筹全局，选择最佳方案，实现整体的最优目标。同时，必须重视部分的作用：搞好局部，用局部的发展推动整体的发展。
3、掌握系统优化的方法。
(1)系统的基本特征：整体性、有序性、内部结构的优化趋向。
(2)掌握系统优化的方法，要着眼于事物的整体性;遵循系统内部结构的有序性;注意系统内部结构的优化趋向。
(3)系统优化的方法要求我们用综合的思维方式来认识事物。
高中政治必修四知识点：唯物辩证法的发展观(唯物辩证法的发展观部分)
1、发展的普遍性。
自然界是发展的;人类社会是发展的;人的认识是发展的。
2、发展的实质(什么是发展?)
发展是事物的前进和上升，是新事物的产生和旧事物的灭亡。(发展不是运动变化，不是质变;判断事物先后的标准主要看它是否符合客观发展规律，是否有远大的前途和强大的生命力;不是以力量的先后表面的形式作为判断标准)
3、事物的发展是前进性和曲折性的统一。(发展的趋势：前途光明，道路曲折。)
(1)事物发展的前途是光明的。因为新事物必然战胜旧事物。
(2)事物发展的道路是曲折的。因为新事物战胜旧事物必然经历一个漫长和曲折的过程。
(3)方法论：要看到前途是光明的，对未来充满信心，鼓励、支持、保护新事物，促使其成长壮大。又要准备走曲折的路，不断克服前进道路上的各种困难，勇敢地接受挫折和考验。
4、量变和质变的辩证关系(发展的状态)
(1)量变是事物的增减和场所得变迁，是一种渐进不显著的变化。质变是事物根本性质的变化，是一种根本的显著的变化。
(2)量变和质变的辩证关系：量变是质变的必要准备;质变是量变的必然结果。质变为新的量变开辟道路，使事物在新质的基础上开始新的量变。事物的发展就是这样由量变到质变，又在新质的基础上开始新的量变，如此循环往返，不断前进。
方法论：积极做好量的积累，为实现事物的质变创造条件。要果断地抓住时机，促成质变，实现事物的飞跃和发展。反对两个极端：急于求成和优柔寡断。
高中政治必修四知识点：唯物辩证法的实质与核心(唯物辩证法的矛盾分析法部分)
1、矛盾的同一性和斗争性。
(1)矛盾的含义
(2)矛盾的同一性
(3)矛盾的斗争性
(4)同一性和斗争性的关系：矛盾的同一性是相对的，矛盾的斗争性是绝对的;矛盾的同一性是对立中的同一，是包含差别的对立，矛盾的斗争性也不能脱离同一性存在;斗争性寓于同一性之中，并为同一性所制约。矛盾双方既对立又统一，由此推动事物的运动、变化和发展。所以矛盾是事物发展的源泉和动力。
(5)方法论：坚持一分为二的分析方法。(两点论、两分法)。
2、矛盾的普遍性原理。
(1)矛盾的普遍性含义：事事有矛盾;时时有矛盾。
(2)方法论：在任何时候，对任何事物，我们都要承认矛盾，分析矛盾，勇于揭露矛盾，积极寻找正确的方法解决矛盾。
3、矛盾的特殊性原理。
(1)矛盾的特殊性含义：矛盾着的事物及其每一个侧面各有其特点。
(2)矛盾的特殊性的表现。一是不同事物有不同的矛盾;二是同一事物在发展的不同过程和不同阶段上有不同的矛盾;三是同一事物的不同矛盾，同一矛盾的两个方面也各有特殊性。
(3)方法论：具体问题具体分析。
含义：是指在矛盾普遍性原理的指导下，具体分析矛盾的特殊性并找出解决矛盾的正确方法。
具体问题具体分析地位：是马克思主义的一个重要原则，是马克思主义的活的灵魂。
意义：是我们正确认识事物的基础，也是我们正确解决问题的xxx。
(提示：具体问题具体分析是从辩证法的角度，依据是矛盾的特殊性;
一切从实际出发从唯物论的角度，依据是物质决定意识;)
4、矛盾的普遍性和矛盾的特殊性的辩证关系原理。
(1)二者相互联结。普遍性离不开特殊性;特殊性离不开普遍性。
(2)二者在一定条件下相互转化。
5、主要矛盾和次要矛盾辩证关系原理。
(1)区别：在复杂事物的发展过程中，存在着许多矛盾，其中必有一种矛盾处于支配地位、对事物发展起决定作用，这就是主要矛盾。其他矛盾处于被支配地位、对事物发展不起决定作用，这就是次要矛盾。
(2)联系：主要矛盾和次要矛盾相互依赖、相互影响;并在一定条件下相互转化。
(3)方法论：要求我们想问题办事情既要善于抓住重点，集中力量解决主要矛盾;同时，又要统筹兼顾，处理好次要矛盾。
6、矛盾的主要方面和次要方面辩证关系原理。
(1)区别：一个矛盾有两个方面，其力量是不平衡的。其中，必有一方处于支配地位、起着主导作用，这就是矛盾的主要方面。另一方处于被支配地位，是矛盾的次要方面。
(2)事物的性质，主要是由主要矛盾的主要方面决定的。
(3)联系：矛盾的主要方面和次要方面相互排斥、又相互依赖;并在一定条件下相互转化。
(4)方法论：要求我们想问题办事情既要全面，又要善于分清主流和支流。
提示：区分主要矛盾、次要矛盾和矛盾的主要方面、次要方面：
A主要矛盾和次要矛盾外延：就复杂事物中包含许多矛盾相互比较二言的，比较的结果主要矛盾只有一个，次要矛盾可以多个;作用主要矛盾决定事物发展的进程;方法论：要求我们想问题办事情既要善于抓住重点，集中力量解决主要矛盾;同时，又要统筹兼顾，处理好次要矛盾;常用语：xxx、中心、主题、突破口、核心等);
B矛盾的主要和次要方面：外延指同一矛盾的双方相互比较而言的，比较的结果：矛盾的主要方面只有一个，而次要方面也只有一个，作用矛盾的主要方面决定事物的性质，方法论：要求我们想问题办事情既要全面，又要善于分清主流和支流。常用词：主流、主体、性质、方向、大局、本质、总体上看、利弊、优势、形势等)
7、坚持两点论和重点论相统一的方法论。
(1)坚持两点论和重点论相统一的哲学依据：主要矛盾和次要矛盾辩证关系原理;矛盾的主要方面和次要方面辩证关系原理。
(2)两点论和重点论的含义。
(3)两点论和重点论的联系：两点之中有重点;重点是两点中的重点。
(4)我们要坚持两点论和重点论相统一的方法，反对一点论和均衡论。
(提示：具体问题具体分析是从辩证法的角度和一切从实际出发从唯物论的角度)
8、什么是矛盾分析的方法?
矛盾分析的方法是认识事物的根本方法。
主要是：
(1)运用一分为二的观点，坚持两点论、两分法。
(2)坚持具体问题具体分析;
(3)善于把握重点和主流，坚持两点论和重点论相统一。 第十课 创新意识与社会进步(唯物辩证法的辩证否定观部分)
1、辩证否定观与创新意识。
(1)什么是辩证的否定?
辩证的否定，是事物自身的否定。是事物发展的环节。是事物联系的环节。辩证否定的实质，是“扬弃”。
(2)辩证否定观的要求
①必须树立创新意识。
②要有革命批判的精神。(既不能肯定一切，也不能否定一切。)
2、辩证法的革命批判精神和创新意识要求
(1)密切关注变化着的实际，敢于突破与实际不相符合的xxx规xxx说，
(2)敢于破除落后的思想观念，
(3)注重研究新情况，善于提出新问题，敢于寻找新思路，确立新观念，开拓新境界;
3、创新是民族进步的灵魂。
(1)创新推动生产力的发展。(2)创新推动生产关系和社会制度的变革。(3)创新推动人类思维方式和文化的发展。(4)创新是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭动力，也是一个政党永葆生机的源泉。
总结：创新的依据：
1、(从辩证发的角度)：事物是不断发展的，发展的实质是事物的前进和上升，是新事物的产生和旧事物的灭亡;
2、(从辩证发的角度)：辩证的否定是实现发展的根本途径其实质是扬弃要求必须树立创新意识
3、(从辩证发的角度)：创新的社会作用：创新推动生产力的发展，创新推动生产关系和社会制度的变革，创新推动人类思维方式和文化的发展。
4、(唯物论角度)：物质决定意识要求我们一切从实际出发，客观实际是变化发展的，因此必须发扬创新精神，才能达到主客观具体历史的统一;发挥主观能动性与客观实际相结合，要求我们解放思想实事求是与时俱进开拓创新;
5、(从认识论角度)认识具有反复性无限性，真理永远不会停止前进的步伐，要求我们与时俱进，开拓创新，在实践中认识和发现真理，在实践中检验和发展真理
综合探究：一、新发展理念的内涵：创新、协调、绿色、开放、共享的发展理念。
二xxx发展理念体现辩证法观点：
(1)发展成果由人民共享，创新、协调、绿色、开放、共享的发展理念，相互贯通、相互促进，是具有内在联系的;体现了辩证法的联系观;
(2)体现主要矛盾和次要矛盾，矛盾的主要方面和次要方面原理(区分缓急在兼顾一般时要抓住主要矛盾和矛盾的主要方面重点突破);
体现了矛盾的特殊性要求具体问题具体分析，一切以时间地点条件为转移);
(4)体现发展观点(善于把握发展的普遍性，渐进性和飞跃性，及求真务实又稳扎稳打，既求真务实又与时俱进。)
数学必修4知识点总结 第32篇
高中数学必修四知识点总结
高中数学必修四知识点总结
角的概念的推广
弧度制
任意角的三角函数
同角三角函数的基本关系
正xxx诱导公式
两角和与差
二倍角的正弦、xxx、正切
正xxx函数的.图像和性质
函数y=Asin(ωx+φ)的图像
正切函数的图像和性质
已知三角函数值求角
平面向量的基本概念
向量的加法与减法
实数与向量的积
平面向量的坐标计算
线段的定比分点
平面向量的数量积与运算律
平面向量数量积得坐标表示
数学必修4知识点总结 第33篇
（一）、映射、函数、反函数
1、对应、映射、函数三个概念既有共性又有区别，映射是一种特殊的对应，而函数又是一种特殊的映射。
2、对于函数的概念，应注意如下几点：
（1）掌握构成函数的三要素，会判断两个函数是否为同一函数。
（2）掌握三种表示法——列表法、解析法、图象法，能根实际问题寻求变量间的函数关系式，特别是会求分段函数的解析式。
（3）如果y=f(u)，u=g(x)，那么y=f[g(x)]叫做f和g的复合函数，其中g(x)为内函数，f(u)为外函数。
3、求函数y=f(x)的反函数的一般步骤：
（1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域；
（2）由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y)；
（3）将x，y对换，得反函数的习惯表达式y=f-1(x)，并注明定义域。
注意①：对于分段函数的反函数，先分别求出在各段上的反函数，然后再合并到一起。
②熟悉的应用，求f-1(x0)的值，合理利用这个结论，可以避免求反函数的过程，从而简化运算。
（二）、函数的解析式与定义域
1、函数及其定义域是不可分割的整体，没有定义域的函数是不存在的，因此，要正确地写出函数的解析式，必须是在求出变量间的对应法则的同时，求出函数的定义域。求函数的定义域一般有三种类型：
（1）有时一个函数来自于一个实际问题，这时自变量x有实际意义，求定义域要结合实际意义考虑；
（2）已知一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可。如：
①分式的分母不得为零；
②偶次xxx的被开方数不小于零；
③对数函数的真数必须大于零；
④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1;
⑤三角函数中的正切函数y=tanx(x∈R，且k∈Z)，余切函数y=cotx(x∈R，x≠kπ，k∈Z)等。
应注意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有意义的自变量取值的公共部分（即交集）。
（3）已知一个函数的定义域，求另一个函数的定义域，主要考虑定义域的深刻含义即可。
已知f(x)的定义域是[a，b]，求f[g(x)]的定义域是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围，而已知f[g(x)]的定义域[a，b]指的是x∈[a，b]，此时f(x)的定义域，即g(x)的值域。
2、求函数的解析式一般有四种情况
（1）根据某实际问题需建立一种函数关系时，必须引入合适的变量，根据数学的有关知识寻求函数的解析式。
（2）有时题设给出函数特征，求函数的解析式，可采用待定系数法。比如函数是一次函数，可设f(x)=ax+b(a≠0)，其中a，b为待定系数，根据题设条件，列出方程组，求出a，b即可。
（3）若题设给出复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法求函数f(x)的表达式，这时必须求出g(x)的值域，这相当于求函数的定义域。
（4)若已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量（如f(-x），等），必须根据已知等式，再构造其他等式组成方程组，利用解方程组法求出f(x)的表达式。
数学必修4知识点总结 第34篇
一、为下列加点字注音
1、虎兕 sì 2、出于柙xi á 3、毁于椟dú 4、不胜食shēng 5、数罟 cùgǔ 6、闯wū 7、衣帛y ì 8、鸡豚狗彘 zhì 9、饿莩piǎo 10、庠序 xiáng 11、险d xī 12、肇造 zhào 13、方炽ch ì 14、杌陧wùni è 15、勖x ù 16、噫吁 xī 17、猿猱náo 18、萦绕yíng 19、 崖pēng 20、xxx cuīwéi 21、趑趄zījū 22、云篦 bì 23、呕哑嘲哳 ōuyāzhāozhā 24、槛菊jiàn 25、暮霭ǎi 26、翼轸zhěn 27、り q ǐ 28、潦水 lǎo 29、遄飞 chuán
30、雕甍méng 31、睢园suī 32、睇眄dìmiǎn 33、xxxkuài 34、命途多舛chuǎn 35、xxx què 36、捧袂mèi 37、悚然sǒng 38、砭人肌骨biān 39、WW铮铮cōngzhēng 40、渥然 wò 41、黟然 yí 42、f岩 chán 43、踬踣zhìb ó 44、一g土póu
二、解释加点的词
1、无乃尔是过与 宾语前置的标志
2、xxx力就列 施展 担任
3、君子疾夫舍曰欲之而必为之辞 痛恨 托词
4、相夫子 辅助
5、邻国之民不加少 更
6、弃甲曳兵 拖
7、或百步而后止 有的
8、数罟不入闯 密 池塘
9、xxx以孝悌之义 孝敬父母 尊敬兄长
10、斯天下之民至焉 那麽
11、危乎高哉 高
12、开国xxx 多麽
13、扪参历井仰胁息 摸 屏住
14、以手抚膺坐长叹 胸
15、xxx当关 把守
16、去来江口守空船 语气助词，无义
17、却坐促弦弦转急 后退
18、星分翼轸 分野
19、龙光射牛斗之墟 区域
20、都督阎公之雅望 美好
21、家君作宰 县令
22、时维九月 在
23、俨骖W于上路 整治
24、披绣闼 打开
25、川泽纡其骇属 屈曲
26、云销雨霁 雨后初晴
27、逸兴遄飞 急速
28、爽籁发 参差不齐
29、穷且益坚 却
30、一介书生 微末
31、等终军之弱冠 相同
32、叨陪鲤对 谦辞，有愧于
33、盛筵难再 第二次
34、敢竭鄙怀，恭疏短引 冒昧
35、xxx方夜读书 正当
36、有动于中，必摇其精 内心
37、念谁为之戕贼 残杀
38、顾自民国肇造 但是
39、虽以史迁之善传游侠 为 ……作传
40、丐序于予 索求 作序
41、视清季有加 比较
42、滋可痛已 更加
三、指出下列加点虚词的意义和用法
1、xxx、季路见于xxx曰 介 到
2、xxx将有事于颛臾 介 对于
3、虎兕出于柙 介 从
4、且在邦域之中 助 的
5、无如寡人之用心者 助 取独
6、填然鼓之 音节助词
7、是谁之过与 助， 前置标志
8、山原旷其盈视 连 而
9、万事劳其形 代 他的
10、奉帝宣以何年 介 在
11、以坚毅不挠之精神 介 凭着
12、以xxx月二十九日围攻两广督署之役为最 同后面“为”连用
13、时予方以讨贼督师桂林 连 因为
14、请以战喻 介 拿
15、斧斤以时入山林 介 按照
四、解释下列划线的.古今异义词
1、xxx将有事于颛臾 攻打
2、河内凶 黄河以北
3、xxx养生丧死无憾也 供养活人
4、因为 长句 因而写作 指七言诗
5、暮去朝来颜色故 面容
6、其所以摧败零落者 ……的原因
五、找出下列活用词，并加以解释
1、既来之，则安之 使动
2、五十者可以衣帛矣 名作动
3、xxx无罪岁，斯天下之民至焉 名作动
4、浔阳江头夜送客 名作状
5、商人重利轻别离 意动
6、襟三江而带五湖 意动
7、xxxxxx蕃之榻 使动
8、宾主尽东南之美 形作名
9、窜梁鸿于海曲 使动
10、人杰地灵 形作动
11、物华天宝 形作动
12、四美具，二难并 形作名
13、春生秋实 名作动
14、万物劳其形 使动
15、雄州雾列，俊采星驰 名作状
16、谨庠序之教 形作动
17、然而不xxx者 名作动
六、指出下列各句所含句式，并加以翻译
1、无乃尔是过与 宾语前置
2、而谋动干戈于邦内 状语后置
3、树之以桑 状语后置
4、xxx以孝悌之义 状语后置
5、养生丧死无憾，xxx道之始也 判断句
6、然而不xxx者，未之有也 宾语前置
7、并以为国人之读兹编者勖 定语后置
8、宇文新州之懿范， 帷暂住 定语后置
9、其所以摧败零落者，乃其一气之余烈 判断句
七、翻译下列各句
1、君子疾夫舍曰欲之而必为之辞
2、盖君无贫，和无寡，安无倾
3、斧斤以时人山林，材木不可胜用也
4、是何异于刺人而杀之，曰：非我也，兵也。
5、如史载田横事，虽以史迁之善传游侠，亦不能为五百人立传，滋可痛已！
6、层台耸翠，上出重霄；xxx丹，下令无地。
7、睢园绿竹，气凌xxx之樽；邺水xxx，光照临川之笔
8、草拂之而色变，木遭之而叶变
七、整理《xxx将伐颛臾》、《寡人之于国也》、《〈xxx烈士事略〉序》、《琵琶行》、《滕xxx阁序》、《秋声赋》等篇目中的通假字，并解释。
《季》 与 萧
《寡》 无 颁 涂
《黄》 唱
《琵》 无通假字
《xxx 采 轴
《秋》 砰湃
八、默写：
1、xxx有言曰：“xxx ， 。 ” 危而不持，颠而不扶，则将焉用彼相矣。
2、丘也闻有国有家者，不患寡 ， 不患贫 。
3、吾恐季xxx忧， 不在 ， 而在 。
4、 数罟 ，鱼鳖不可胜食也。 斧斤 ，材木不可胜用也。
5、 谨 ， 申 ，颁白者不负戴于道路矣。
6、地崩山摧壮士死， 然后 。
7、 扪 ，以手抚膺坐长叹。问君西游何时还， 畏 。
8、 剑阁 ，xxx当关，xxx莫开。 所守 ，化为狼与豺。
9、 艰 ，潦倒新停浊酒杯。
10、 千呼 ， 犹 。转轴拨弦三两声，未成曲调先有情。
11、间关莺语花底滑， 幽 。 冰 ，凝绝不通声暂歇。
12、 门 ，老大嫁作商人妇。
13、坐中泣下谁最多？ 江 。
14、 庄 ，望帝春心托杜鹃。 沧 ，蓝田日暖玉升烟。
15、 雕 ，只是xxx。
16、 昨 。独上高楼，望尽天涯路。 欲 ， 山 。
17、执手相看泪眼， 竟 。念去去、xxx烟波， 暮 。
18、 满 ， 憔 ，如今有谁堪摘？
19、物华天宝， 龙 ；人杰地灵， xxx 。
20、闾阎扑地， 钟 ；舸迷津， 青 。
21、关山难越， 谁 ；萍水相逢， 尽 。
22、北海虽赊，扶摇可接； 东 ， 。
23、画栋朝飞 ， 珠 。 日悠悠， 物 。
24、而况思其力之所不及，忧其智之所不能。 宜其渥然丹者为槁木， 黟然黑者为星星 。
xxx的四弟子
子路：姓仲，名由，字子路，又称季路
xxx：姓冉，名求，字子有
xxx：姓公西，名赤，xxx
xxx：姓曾，名点，字皙
1、儒家 春秋 思想 xxx 弟子 二十 政治、教育、文学、哲学 处身立世 大学 中庸 xxx
2、战国 孟轲 七篇 政治活动、政治学说 哲学、伦理、教育思想，儒家
3、说明梁惠xxx与邻国的统治并没什么大的差别
以仁义治天下 七十者衣帛食肉，xxx不饥不寒，(而后)谨庠序之教，xxx以孝悌之义，颁白者不负戴于道路矣。
4、D 5、B 7、C 8、(1)B (2)D (3)A (4)C (5)D (6)C (7)D 9、DE
10、B；EG(都是介宾后置句)
12.(1) 【原文】 子路问：“xxx诸？”子曰：“有父兄在，如之何其xxx之？”xxx问：“xxx诸？”子曰：“xxx之。”xxx曰：“由也问‘xxx诸’，子曰‘有父兄在’；求也问‘xxx诸’，子曰‘xxx之’。赤也惑，敢问？”子曰：“求也退，故进之；由也兼人，故退之。”
(2)D (3)能看出来，从“求也退，故进之；由也兼人，故退之”中可看出。
【译文】 子路问：“听到就做吗？”xxx说：“有父兄在，怎么能听到就做？”xxx问：“听到就做吗？”xxx说：“听到就做。”xxx说：“仲由问‘听到就做吗’，您说‘有父兄在’；冉求也问‘听到就做吗’，您却说‘听到就做’。我很疑惑，请问这是为什么？”xxx说：“冉求总是退缩，所以要鼓励他；仲由胆大，所以要约束他。”
十、
4.：（1）送别；间接抒情（借景抒情，寓情于景也可）；直接抒情（直抒胸臆）
5.（2）xxx豁达（旷达，乐观），xxx诗离愁中带洒脱（只答“离愁”“洒脱”“伤感”亦可）
十一、
（不能互换）
20．A（“这个人”自然指代上文的“当代最伟大的思想家”，“这个巨人”指紧承前文，突出其历史地位）
25.（1）xxx说：“何不各人说说自己的志向。”（2分）（2）我愿意把我的车马衣服同朋友共同使用，坏了也没有什么不满。（3分）（3）xxx说：“（我的志向是）对老年人，使他们安逸；对平辈的朋友，使他们信任我；对少年人，使他们归依怀念我。”（3分）
【文段参考译文】xxx、季路两人陪侍着xxx。xxx说：“何不各人说说自己的志向。”子路说：“我愿意把我的车马衣服同朋友共同使用，坏了也没有什么不满。”xxx道：“愿意不夸耀自己的好处，不表白自己的功劳。”子路问xxx道：“希望听听老师您的志向。”
xxx说：“我的志向是，对老年人，使他们安逸；对平辈的朋友，使他们信任我；对少年人，使他们归依怀念我。”
数学必修4知识点总结 第35篇
单调性
⑴若导数大于零，则单调递增；若导数小于零，则单调递减；导数等于零为函数驻点，不一定为极值点。需代入驻点左右两边的数值求导数正负判断单调性。
⑵若已知函数为递增函数，则导数大于等于零；若已知函数为递减函数，则导数小于等于零。
根据微积分基本定理，对于可导的函数，有：
如果函数的导函数在某一区间内恒大于零（或恒小于零），那么函数在这一区间内单调递增（或单调递减），这种区间也称为函数的单调区间。导函数等于零的点称为函数的驻点，在这类点上函数可能会取得极大值或极小值（即极值可疑点）。进一步判断则需要知道导函数在附近的符号。对于满足的一点，如果存在使得在之前区间上都大于等于零，而在之后区间上都小于等于零，那么是一个极大值点，反之则为极小值点。
x变化时函数（蓝色曲线）的切线变化。函数的导数值就是切线的斜率，绿色代表其值为正，红色代表其值为负，黑色代表值为零。
凹凸性
可导函数的凹凸性与其导数的单调性有关。如果函数的导函数在某个区间上单调递增，那么这个区间上函数是向下凹的，反之则是向上凸的。如果二阶导函数存在，也可以用它的正负性判断，如果在某个区间上恒大于零，则这个区间上函数是向下凹的，反之这个区间上函数是向上凸的。曲线的凹凸分界点称为曲线的拐点。
数学必修4知识点总结 第36篇
【公式一】
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ+α）=sinα(k∈Z)
cos（2kπ+α）=cosα(k∈Z)
tan（2kπ+α）=tanα(k∈Z)
cot（2kπ+α）=cotα(k∈Z)
【公式二】
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π+α）=-sinα
cos（π+α）=-cosα
tan（π+α）=tanα
cot（π+α）=cotα
【公式三】
任意角α与-α的三角函数值之间的关系：
sin（-α）=-sinα
cos（-α）=cosα
tan（-α）=-tanα
cot（-α）=-cotα
【公式四】
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π-α）=sinα
cos（π-α）=-cosα
tan（π-α）=-tanα
cot（π-α）=-cotα
【公式五】
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π-α）=-sinα
cos（2π-α）=cosα
tan（2π-α）=-tanα
cot（2π-α）=-cotα
数学必修4知识点总结 第37篇
1. 哲学以世界观为研究对象，哲学是科学的世界观和科学的方法论的统一。(注意：哲学以整个世界为研究对象，哲学有科学与非科学之分)
2. 哲学是“科学之科学”，哲学与具体科学是整体与部分、多数和少数的关系。(注意：哲学是具体科学的概括总结，二者是共性与个性、普遍性与特殊性、指导与被指导的关系)
3. 哲学的基本问题是思维和存在的辩证关系问题。(注意：哲学的基本问题是思维和存在的关系问题)
4. 哲学基本问题是划分唯物主义和唯心主义的依据。(注意：哲学基本问题还为划分可知论和不可知论提供依据。哲学基本问题的第一个方面是划分唯物主义和唯心主义的依据)
5. 追求物质利益就是唯物主义，崇尚精神生活就是唯心主义。(注意：应弄清唯物主义和唯心主义各自的根本观点，不可把哲学中的唯物主义和唯心主义庸俗化)
6. xxx学都是自己时代精神上的精华。(注意：只有真正的哲学才是自己时代精神上的精华)
7. 物质和物质的具体形态是整体和部分的关系。(注意：哲学上的物质概念是对万事万物的抽象和概括，物质和物质的具体形态是共性和个性、一般和个别的关系)
8. 物质的唯一特性是客观存在性。(注意：物质的唯一特性是客观实在性，客观实在和客观存在是既相互区别又相互联系的，不能将二者等同起来)
9. 运动是物质固有的唯一特性和存在方式。(注意：运动是物质固有的根本属性和存在方式，物质的唯一特性是客观实在性)
10. 意识的内容是主观的，形式也是主观的。(注意：意识的内容来源于客观世界，是客观的，意识的反映形式却是主观的，意识体现了主观不能制约客观规律)
高中政治学习方法
首先，教师要提高自身对新课改的认识，不断加强思想政治知识的学习，提高政治素养。作为一名合格的高中教师，要充分认识到思想政治学科的历史性和时事性，要根据思想政治学科的特征提高自身的教学能力。一方面，教师要对教材的基本脉络有一个清晰的了解，明确教材中的重点难点，并了解学生的思想动态，运用适合学生的教学方法和教学对策，做到因材施教。另一方面，教师要了解当前的时事动态，充分融入课堂教学中来，达到激发学生学习兴趣的目的。此外，教师还应该提高自己的教学能力，不断丰富自己的政治知识和运用教学媒体的能力，让课堂教学呈现出较强的生动性。
其次，教师要创设合理的问题情境，让学生在课堂学习中大胆质疑，还要创设良好的课堂环境，让学生在轻松和谐的课堂环境中主动学习。高中思想政治教师要提高学生的创新能力和应用能力，就要适时地创造问题情境，让学生在问题情境中发挥自己的主观能动性，学习并拥有知识。需要注意的是，教师在创设问题情境的时候，应该确保问题适合学生的理解能力和知识水平，还要针对全班学生，让高中思想政治课程与生活实际息息相关。此外，新课改下，高中思想政治教师要与学生建立平等和谐的师生关系，创设和谐、民主、平等的教学环境，让学生在课堂中发挥主动地位，积极参与到课堂学习中来。
最后，高中思想政治课堂中，教师还要充分发挥学生的练习的作用，通过有针对性的测试试卷或课后题目等让学生加强思想政治基础知识和重难点知识的巩固学习，强化学生的思想政治知识系统。一方面，教师要通过单项选择题等加强学生对基础知识的掌握和了解，通过有针对性的题目练习加强学生对重点难点知识的掌握，让学生及时掌握每一节的知识，提高政治知识的辨别能力;另一方面，教师要通过试卷练习的方式，让学生对每一个单元的知识进行系统的巩固，并在错误题目中提高对于思想政治知识的学习能力。