物理激光总结 第1篇
激光器根据泵浦方式可分为连续及脉冲激光器两种。
为初步研究脉冲泵浦下粒子能级分布的演化过程，考虑三能级系统。在一矩形脉冲 W_{13}(t) 激励下，由于激励时间很短，上能级粒子数基本不变 n_3\approx0 ，由速率方程有
\frac{dn_3(t)}{dt}=n_1W_{13}-n_3(S_{32}+A_{31})\approx0\\定义上能级自发幅射量子效率 \eta_1=\frac{S_{32}}{S_{32}+A_{31}} ，即有 \frac{n_3S_{32}}{\eta_1}=n_1W_{13}(t) 。
定义亚稳态荧光效率 \eta_2=\frac{A_{21}}{S_{21}+A_{21}} ，亚稳态速率方程为
\frac{dn_2(t)}{dt}=S_{32}n_3-n_2(A_{21}+S_{21})=[n-n_2(t)]\eta_1W_{13}(t)-\frac{A_{21}n_2(t)}{\eta_2}\\解速率方程得到亚稳态布局数变化曲线如下。
当 t_0\gg\tau_2=\frac{1}{A_{21}+S_{21}} 时， n_2(t) 增长至稳定值 \frac{\eta_1W_{13}n}{A_{21}/\eta_2+\eta_1W_{13}} 。当 t_0\ll\tau_2 时，布局数处于非稳态振荡过程。
对于一腔长为 L 的激光谐振腔，若增益物质长度为 l 。腔内 m 模光子数变化速率方程为
\frac{dN_m}{dt}=(n_2-\frac{f_2}{f_1}n_1)\sigma_{21}(\nu, \nu_0)cN_m\frac{l}{L}-\frac{N_m}{\tau_{Rl}}\\(\tau_{Rl}=\frac{L}{\delta c})\\光场放大时须满足条件 \frac{dN_l}{dt}\geq0 ，对应阈值条件 \Delta n\geq\Delta n_t=\frac{\delta}{\sigma_{21}(\nu, \nu_0)l}
小信号增益系数 g^0(\nu)\geq g_t=\Delta n_t\sigma_{21}(\nu, \nu_0)=\frac{\delta}{l} 。不同纵模阈值增益系数相同，不同横模损耗 \delta 不同，高次模损耗高，使得阈值增益系数高。仅增益大于阈值增益的模式可在激光器内形成振荡。
连续或长脉冲激光器通常工作在稳态，故考察他们的阈值泵浦功率。
4能级系统中，无辐射跃迁 S_{10} 较大， E_2 粒子数密度阈值为 n_{2t}\approx\Delta n_t ，即单位时间内需有 \frac{n_{2t}}{\eta_2\tau_{s2}} 个粒子自 E_3 跃迁，反推为单位时间有 \frac{n_{2t}}{\eta_F\tau_{s2}} 个粒子自 E_0 能级向上跃迁。满足此条件的泵浦源功率为阈值泵浦功率
P_{pt}=\frac{h\nu_pn_{2t}V}{\eta_F\tau_{s2}}=\frac{h\nu_pV\delta}{\eta_F\sigma_{21}(\nu,\nu_0)\tau_{s2}l}\\
典型3能级系统反转粒子数远小于粒子总数 \Delta n\ll n ，故有
n_{2t}=\frac{(f_2/f_1)n+\Delta n_t}{1+f_2/f_1}\rightarrow\frac{n}{1+\frac{f_1}{f_2}}\\ P_{pt}=\frac{h\nu_pn_{2t}V}{\eta_F\tau_{s2}}=\frac{h\nu_pnV}{\eta_F\tau_{s2}}\cdot\frac{1}{1+\frac{f_1}{f_2}}\\短脉冲激光器由于无法建立稳态，输出功率变化，故考察其阈值泵浦能量。在极短时间内不考虑自发辐射及无辐射跃迁对粒子数的影响。为使 E_2 能级增加一个粒子，需吸收 1/\eta_1 个泵浦光子，故阈值条件为吸收 n_{2t}/\eta_1 个光子时产生激光。对两种系统分别有
\begin{cases} 3\;Level:E_{pt}=\frac{h\nu_pn_{2t}V}{\eta_1}=\frac{h\nu_pV\delta}{\eta_1\sigma_{21}(\nu,\nu_0)l}\\ 4\;Level:E_{pt}=\frac{h\nu_pn_{2t}V}{\eta_1}=\frac{1}{1+\frac{f_1}{f_2}}\cdot\frac{h\nu_pnV}{\eta_1} \end{cases}\\ 一般三能级激光器阈值大于四能级激光器，且与损耗无关。四能级系统阈值条件与损耗有关。
在均匀加宽激光器中，若对几个连续纵模，他们增益系数均超过阈值增益系数
g^0(\nu_{q-1},\nu_q,\nu_{q+1})>g_t\\那么他们均会形成增益。增益过程消耗反转粒子数， 增益曲线下降。下降过程会导致某纵模增益低于阈值增益而被抑制熄灭。该过程的效果是：靠近中心频率 \nu_0 的纵模形成稳定振荡，其他纵模被依次抑制熄灭，最后激光器输出稳定单纵模。
另外，当腔内形成稳定的 \nu_q xxx时，相应会形成反转粒子数 \Delta n 在空间分布的振荡，称之为空间烧孔。若满足 \nu_q' 模起振的波腹与 \nu_q 波节重合时， \nu_q' 模可利用空间粒子数的烧空形成振荡，形成多模起振。
非均匀加宽激光器一般为多纵模同时振荡，不同纵模消耗不同频率处的反转粒子数 \Delta n(\nu)。值得注意的是当\nu_q=\nu_0时其余纵模见由于烧孔会产生模式竞争。
为考虑激光器输出，同样分为连续或长脉冲激光器及短脉冲激光器两种分别考虑。
连续或长脉冲激光器工作在稳态，即增益系数满足
g(\nu_q,I_q)=g_t=\frac{\delta}{l}\\均匀加宽为单模激光器，由稳定时g_H(\nu_q,I_{\nu_q})=\frac{g_H^0(\nu_q)}{1+\frac{I_{\nu_i}}{I_s}}=\frac{\delta}{l}\\振荡光强为I_{\nu_q}=I_s(\nu_q)[\frac{g_H^0(\nu_q)l}{\delta}-1]\\
设输出有效截面为 A ，反射镜投射率为 T ，则激光器输出功率为
P=ATI_+=\frac{1}{2}ATI_s(\nu_q)[\frac{g_H^0(\nu_q)l}{\delta}-1]=\frac{1}{2}ATI_s(\nu_q)[\frac{g_H^0(\nu_q)l}{a+T}-1]\\其中 a\ll1 为无用损耗率。
由公式可见，增益越高时输出功率越大，且投射率 T 影响输出功率，由 \frac{dP}{dT}=0 可计算得最佳透射率。
非均匀加宽激光器，若\nu_q\ne\nu_0，则两方向光各烧两孔，输出仅考虑 I_+ 光，输出光功率与上同理，有
P=ATI_+=ATI_s(\nu_q)\{[\frac{g_i^0(\nu_0)l}{\delta}\exp(-4\ln2\frac{(\nu_q-\nu_0)^2}{\Delta\nu_D^2})]^2-1\}\\ 若\nu_q=\nu_0，则两方向光在中心同烧一孔，输出光功率
P=ATI_+=\frac{1}{2}ATI_s(\nu_q)[(\frac{g_H^0(\nu_q)l}{\delta})^2-1]\\ 输出功率曲线如图
在\nu_q=\nu_0处，形成一个输出功率的凹陷，习惯上称其为xxx凹陷。由于输出功率正比于反转粒子数的烧孔面积之和，由于当 \nu_q\rightarrow\nu_0 时，两方向行进波各自的烧孔发生重叠，导致有贡献的反转粒子数下降，输出功率也下降，从而出现xxx凹陷。
考虑短脉冲激光器，当泵浦脉冲总能量为 E_p 时，对光放大有贡献的粒子数为
\frac{E_p\eta_1}{h\nu_p}-n_{2t}V\\故腔内激光能量为
E_{in}=\frac{A}{S}h\nu_0(\frac{E_p\eta_1}{h\nu_p}-n_{2t}V)=\frac{A}{S}\frac{\nu_0}{\nu_p}\eta_1(E_p-E_{pt})\\
激光器输出能量
E=\frac{A}{S}\frac{\nu_0}{\nu_p}\eta_0\eta_1(E_p-E_{pt})\;(\eta_0=\frac{T}{T+a})\\
固体脉冲激光器输出线型一般为一列宽度很小的尖峰脉冲，称之为弛豫振荡效应。由于泵浦激励作用以及放大消耗使得反转粒子数会在阈值附近产生振荡，表现为输出激光的振荡。另外也可在理想状态下用一阶微扰方法求解腔内光子数变化方程，也可得到其阻尼周期变化的表达式，具体求解见笔记。
尖峰序列实际为向稳态过度的弛豫过程的产物，如果激光器内多模振荡同时产生，腔内会输出一系列无规则的尖峰序列。
理想的单模激光器输出谱线类似 \delta 函数，即谱线宽度趋近于0。但由于自发辐射的存在，使得线宽不会无限趋于0而有一最小线宽。对于一增益为0的无源腔，其光强随寿命 \tau_R 减弱
I(t)=I_0e^{-\frac{t}{\tau_R}}\\利用Fourier变换考察光场复振幅在频域的分布得到其谱线宽度为 \Delta\nu_c=\frac{\delta}{2\pi L} 。
有源谐振腔单程净损耗 \delta_s=\delta-g(\nu,I_\nu)l ，当激光工作在稳态时 \delta_s=0 ，线宽似乎应该为0。然而在之前考虑单模激光器震荡过程中我们忽略了自发辐射的影响，在考虑线宽问题时则需要考虑自发辐射带来的效应。基于此，腔内单模光子数密度方程应为
\frac{dN_l}{dt}=(n_2-\frac{f_2}{f_1}n_1)\sigma_{21}(\nu_l,\nu_o)vN_l+a_ln_2-\frac{N_l}{\tau_R}\\自发幅射跃迁概率
a_l=\frac{A_{21}g(\nu,\nu_0)}{n_\nu SL}=\frac{\sigma_{21}(\nu,\nu_0)v}{SL}\\ 由稳定工作时 \frac{dN_l}{dt}=0 得到单程损耗 \delta_s=\delta-g(\nu,I_\nu)l=a_ln_{2t}\frac{l}{\nu N_l}\\ 代入输出功率与腔光子数密度间的关系可得输出线宽为
\Delta\nu_s=\frac{c\delta_s}{2\pi L}\approx\frac{n_{2t}}{\Delta n_t}\frac{2\pi(\Delta\nu_c)^2h\nu_0}{P_0}\\这种完全由自发辐射产生的无法排除的线宽称为激光器的线宽极限。
激光物质在增益中心 \nu_0 处会出现强烈的色散现象，设频率为 \nu xxx的折射率为 \eta(\nu)=\eta^0+\Delta\eta(\nu) ,均匀加宽时有 \Delta\eta_H=\frac{c(\nu-\nu_0)}{2\pi\nu\Delta\nu_H}g_H(\nu,I_\nu)\\同上考虑综合加宽物质增益系数相同方法得到均匀加宽物质折射率变化项为
\Delta\eta(\nu)=\frac{c}{4\pi\nu}g_i^0(\nu_0)W_I(\xi+i\mu)\\在有工作物质的激光腔中振荡模式相对于无源腔的频率移动为
\Delta\nu_q=\frac{qc}{2(\eta^0+\Delta\eta(\nu))L}-\frac{qc}{2\eta^0L}=-\frac{\Delta\eta(\nu_q)}{\eta^0}\nu_q^0\\可见在有工作物质谐振腔内纵模频率更接近中心频率，这种现象称为激光器的频率牵引。定义牵引参量
\sigma=-\frac{\nu_q-\nu_q^0}{\nu_q-\nu_0}\\用以描述激光器牵引程度。对一般激光器牵引参量数量级在 10^{-3} 左右。
物理激光总结 第2篇
自发辐射在实际情况下并非单色的，即出现谱线加宽。通常用谱线的线性函数来描述谱线加宽，定义为
\tilde g(\nu,\nu_0)=\frac{P(\nu)}{P}\\根据加宽原因，通常将谱线加宽区分为均匀加宽与非均匀加宽。
均匀加宽即物理因素对所有原子的影响相同，每个原子发光对整个线型分布贡献均相同，包括由海森堡测不准原理决定的自然加宽及原子分子间无规则碰撞造成的碰撞加宽。首先考虑气体工作物质：
自然加宽由受激原子在激发态具有有限寿命决定，电子振动为阻尼振动（阻尼系数 \gamma ），其谱线为洛伦兹线型
\tilde g(\nu,\nu_0)=\frac{\gamma/4\pi^2}{(\gamma/4\pi^2)^2+(\nu-\nu_0)^2} ，谱线宽度 \Delta\nu_N=\frac{\gamma}{2\pi} 。
碰撞加宽是由碰撞造成的振荡相位突变引起，碰撞过程不改变能量。突变过程又称做横向（相位）弛豫过程。定义平均碰撞时间 \tau_L=\tau_L(p,T,\sigma_A) ，其线性函数仍为洛伦兹线型
\tilde g_L(\nu,\nu_0)=\frac{\Delta\nu_L/2\pi}{(\Delta\nu_L/2\pi)^2+(\nu-\nu_0)^2} ，谱线宽度 \Delta\nu_N=\frac{1}{\pi}\cdot\frac{1}{\tau_L} 。
对于多组分气体(a、b、c...)，由于不同原子间碰撞截面不同导致平均碰撞时间不同，综合有
\frac{1}{\tau_L}=\frac{1}{(\tau_L)_{aa}}+\frac{1}{(\tau_L)_{ab}}+\frac{1}{(\tau_L)_{ac}}+\cdot\cdot\cdot\\非均匀加宽即每个原子由于环境、状态的不同对线型的贡献不同。气体分子主要体现为多普勒展宽：由于沿腔轴方向分子运动有一定的速度，接收到运动原子发出xxx波频率会发生发变化， \nu_0' 称为表观中心频率。原子数密度按表观中心频率分布为Gauss分布，多普勒展宽的线性函数为Gauss线型。
\tilde g_D(\nu_0',\nu_0)=\frac{P(\nu)}{P}=\frac{c}{\nu_0}(\frac{m}{2\pi kT})^{1/2}e^{-[\frac{mc^2}{2kT\nu_0^2}(\nu_0'-\nu_0)^2]}\\当同时考虑均匀及多普勒加宽时，称为综合加宽。为计算线型函数，首先考虑均匀xxx成的按表观中心频率分布粒子数的改变，再计算整个表观中心频率对谱线的加宽贡献，得到综合加宽线型函数
\tilde g(\nu,\nu_0)=\int_{-\infty}^{ +\infty}\tilde g_D(\nu_0',\nu_0)\tilde g_H(\nu,\nu_0') d\nu_0'\\对于固体工作物质，一般由晶体振动形成均匀加宽。晶格缺陷对处于不同位置的原子间影响不同，形成非均匀展宽。
工作物质有关能级原子数变化所满足的微分方程组称为速率方程。由于谱线加宽，速率方程将在Chapter 1中给出的方程基础上推广。考虑两种加宽：
对于均匀加宽，由于所有原子贡献相同，仅不同频率处的跃迁概率有差异 A_{21}(\nu)=A_{21}\tilde g_H(\nu,\nu_0) ，即
P(\nu)=n_2A_{21}(\nu)h\nu\\同样，由Einstein关系 B_{21}(\nu)，B_{12}(\nu) 满足相同线型。均匀加宽对自发辐射总粒子数无影响。当原子与连续光场作用时，由于 \Delta\nu_\rho\gg\Delta\nu_H ， \rho_\nu\sim\rho_{\nu_0} ，受激幅射（吸收）速率为
(\frac{dn_{21}}{dt})=n_2B_{21}\rho_{\nu_0} \\ (\frac{dn_{12}}{dt})=n_1B_{12}\rho_{\nu_0}\\当原子与准单色光场作用时， \Delta\nu_\rho\ll\Delta\nu_H ，受激幅射（吸收）速率为
(\frac{dn_{21}}{dt})=n_2B_{12}(\nu)\rho\\ (\frac{dn_{12}}{dt})=n_1B_{12}(\nu)\rho\\可见单色光不一定精确为原子中心发光频率时也能发生相互作用。
对于非均匀加宽，由于原子具有不同速度使得粒子数具有分布 n(\nu)=n_2\tilde g_i(\nu,\nu_0) ，在中心频率处有
P(\nu_0)=n_2(\nu_0)A_{21}h\nu_0\\总跃迁概率
W_{21}=B_{21}\tilde g(\nu,\nu_0)\rho=\frac{A_{21}}{n_\nu}\tilde g(\nu,\nu_0)N=\sigma_{21}(\nu,\nu_0)vN\\其中 n_\nu=\frac{8\pi\nu^2}{v^3} 为模体积，定义受激发射（吸收）截面
\sigma_{21}=\frac{A_{21}v^2}{8\pi\nu^2}\tilde g(\nu,\nu_0)\\ 对于三、四能级系统，腔内单模振荡时各能级粒子数密度速率变换方程由无辐射跃迁、自发辐射、受激幅射及吸收共同决定，忽略影响较小因素，同时粒子数满足守恒条件。另外考虑腔场内光子数密度的变化：若 l 模光子寿命为 \tau_l ，光子数密度应满足方程
\frac{dN_l}{dt}=n_2W_{21}-n_1W_{12}-\frac{N_l}{\tau_l}=(n_2-\frac{f_2}{f_1}n_1)\sigma_{21}^H(\nu_l,\nu_o)vN_l-\frac{N_l}{\tau_l}\\多模振荡时，粒子数变化为各多模相互作用之和。
如果进一步考虑到泵浦光驱动时的空间效应 \bm{P}(\bm{r},t) 和粒子数密度的空间分布 \bm{n}(\bm{r},t) 时，得到普通速率方程。
根据在Chapter 1中我们提到小信号增益系数的公式
g(\nu)=\frac{1}{I(z)}\cdot\frac{dI(z)}{dz}=\Delta n\sigma_{21}(\nu,\nu_0)=\Delta n\frac{v^2A_{21}}{8\pi\nu_0^2}\tilde g(\nu,\nu_0)\\稳态时对四能级系统由于下能级抽空速率较大且激发态寿命很短，有 n_3\approx0,n_1\approx0,n_2\approx\Delta n ，由速率方程得到反转粒子数密度
\Delta n=\frac{nW_{03}\tau_2}{1+\sigma_{21}^H(\nu,\nu_0)v\tau_2N}\\这里，对于非均匀（综合）加宽，由于粒子数分布按表观中心频率分布（即 \Delta n\sim\nu_0'），使得作用时粒子数分布不再为线性函数。
对均匀加宽工作物质，小信号时定义反转集居数密度 \Delta n^0=nW_{03}\tau_2 及频率为 \nu 时的饱和光强 I_s(\nu_i)=\frac{h\nu_i}{\sigma_{21}^H(\nu_i,\nu_0)} ，反转粒子数密度为 \Delta n=\frac{\Delta n^0}{1+I_{\nu_i}/I_s(\nu_i)} ，则小信号增益公式为
g_H^0(\nu)=\Delta n^0\frac{v^2A_{21}}{8\pi\nu_0^2}\tilde g_H(\nu_i,\nu_0)\\较大信号增益系数代入表示为
g_H(\nu_i,I_{\nu_i})=\frac{\Delta n^0}{1+I_{\nu_i}/I_s(\nu_i)}\frac{v^2A_{21}}{8\pi\nu_0^2}\tilde g_H(\nu_i,\nu_0)=\frac{g_H^0(\nu_0)}{\frac{\tilde g_H(\nu_0,\nu_0)}{\tilde g_H(\nu_i,\nu_0)}+\frac{I_{\nu_i}}{I_s}}\\频率为 \nu_i 的较强光入射会使得所有频率增益系数下降，抑制其他频率模式振荡，形成模式竞争。
对非均匀加宽工作物质，在小信号情况下考察 \nu_0\sim\nu_0+d\nu_0' 内的反转粒子数为\Delta n_0(\nu_0')d\nu_0'=\Delta n\tilde g_i(\nu_0',\nu_0)d\nu_0'\\ 这部分原子有 (\nu_0',\Delta\nu_H) 的均匀加宽，若满足 \Delta\nu_D\gg\Delta\nu_H ,全部原子的增益综合为
g(\nu,I_\nu)=\frac{\Delta n^0}{\sqrt{1+I_\nu/I_s}}\sigma_{21}^i(\nu,\nu_0)\\其中，非均匀加宽的饱和光强 I_s 与频率无关。
由于非均匀加宽工作物质特定频率处相互作用强导致反转粒子数及增益下降，形成频率坐标上的谷，一般称为烧空效应（Spectrul or Frequency hole burning）。表观中心频率为 \nu 的粒子与频率为 \nu_i 作用时反转粒子数为
\Delta n(\nu)=\frac{\Delta n^0(\nu)}{1+I_{\nu_i}/I_s}\\
故在 \nu_i 处形成烧空，烧孔深度为
\Delta n^0(\nu_i)-\Delta n(\nu_i)=\Delta n^0(\nu_i)\frac{\nu_i}{I_s+I_{\nu_i}}\\烧孔宽度定义为深度的半高全宽，为 \delta\nu=\sqrt{1+I_{\nu_i}/I_s}\Delta\nu_H 。可见，受激辐射总功率正比于烧空孔面积：烧空面积越大，辐射功率越大。
这里，我们以多普勒加宽气体激光器为例研究烧空效应：某单纵模 \nu_1 在腔内来回传播时（设两方向行进波分别为 \phi_\pm ），由于原子表观中心频率 \nu_0'=\nu_0(1+\frac{v_z}{c}) ，该纵模与速度为 v_z=\pm c\frac{\nu_1-\nu_0}{\nu_0} 相互作用，反转粒子数减少。实际上，表观中心频率 \nu_1 与 2\nu_0-\nu_1 即为同一批原子，故单纵模作用会使曲线上形成两个关于 \nu_0 对称的烧孔（假设单纵模耗散不计）。
当 \Delta \nu_i\sim\Delta \nu_H 时需考虑综合加宽效应。该情况增益系数形式较为复杂，化简过程不再赘述，最后可形成误差函数实数部分表示的形式
g(\nu,I_\nu)=\frac{v^2A_{21}\Delta n^0}{4\pi^2\nu_0^2\Delta\nu_H}(\frac{\Delta\nu_H}{2})^2\int_0^\infty\frac{\tilde g_i(\nu_o',\nu_0)d\nu_0'}{(\nu-\nu_0)^2+(\frac{\Delta\nu_H}{2})^2(1+I_\nu/I_s)}\\=\frac{g_i^0(\nu,I_\nu)}{\sqrt{1+I_\nu/I_s}}W_R(\xi+i\mu)\\ 其中 \mu=\sqrt{ln2}\frac{\Delta\nu_H\sqrt{1+I_\nu/I_s}}{\Delta\nu_D} , \xi=2\sqrt{ln2}\frac{\nu-\nu_0}{\Delta\nu_D} 。
物理激光总结 第3篇
激光器输出激光后由放大器放大。根据放大器输入信号类型可分为连续、脉冲、超短脉冲激光放大器；根据增益物质两端面是否发生反射分为行波、再生放大器。
对于均匀加宽增益物质，损耗系数为 \alpha 时， 增益系数
\frac{dI(z)}{I(z)dz}=g_H^0(\nu)[1+\frac{I(z)}{I_s(\nu)}]^{-1}-\alpha\\小信号增益 (I(z)\ll I_S(\nu)) 为
G^0=exp\{[g_H^0(\nu)-\alpha]l\}\\
当入射光强较大或光充分放大后，增益关系式有
\ln[\frac{G}{G^0}]=\frac{g_H^0(\nu)-\alpha[1+I(l)/I_s(\nu)]}{g_H^0(\nu)-\alpha[1+I_0/I_s(\nu)]}\\ 若增益系数中忽略损耗系数 \alpha ，积分后有增益关系式
G=G^0\exp[-\frac{(G-1)I(l)}{GI_s(\nu)}]=G^0\exp[-\frac{(G-1)P(l)}{GP_s(\nu)}]\\ 其中P为功率，定义饱和输出功率为 G=G^0/2 时的功率
P_{satu}(l)=\frac{G^0ln2}{G^0-2}P_s(\nu)\\ 当 \nu=\nu_0 时，增益达到最大， G(\nu')=G(\nu_0)/2 ，增益谱宽为 \delta\nu=2|\nu'-\nu_0| 。
考虑一量子效率为 \eta_F=1 的三能级参杂光纤，忽略光纤损耗，同时不考虑离子的横向分布，泵浦光及信号光同时在光线内传播时，由光强变化及稳态条件可得到输运方程
\begin{cases} \frac{dI'(z)}{dt}=\frac{I_p'(z)-\gamma}{I_p'(z)+(1+\gamma)I'(z)+1} \\\frac{dI'_p(z)}{dt}=-\frac{I'(z)+1}{I_p'(z)+(1+\gamma)I'(z)+1}\beta_p^0I_p'(z) \end{cases}\\其中参数具体意义间笔记。根据运输方程，泵浦光沿传输方向逐渐衰减；信号光增长条件为I_p'(z)>\gamma ，阈值泵浦光强为
I_{pth}=\gamma\frac{h\nu_p}{\sigma_{13}(\nu_p)\tau_2}\\ 小信号情况下，增益 G^0 与入射泵浦光强 I_{p0} 及光纤长度 l 有关：
1.当入射泵浦光强 I_{p0} 一定时，有增益最大光纤长度 l_m=\frac{1}{\beta_p^0}[\ln\frac{I_{p0}}{I_{pth}}+\gamma(\frac{I_{p0}}{I_{pth}}-1)]\\
在 l>l_m 时，由于泵浦光被吸收至 P_{pth} 下，增益下降。I_{p0}增大时， l_m、G_m增大。
2.当光纤长度 l 一定时，增益 G^0 随入射泵浦光强 I_{p0} 增大而增大，并趋于稳定。溢出光强对增益无明显作用。
假设工作物质均匀加宽，对于脉冲激光放大器，由于作用时间较短，其自发辐射可不计入。考虑增益介质中 dz 薄层，定义 z 处xxx子流强度为 J(z,t)=N(z,t)v ，易得三能级行波脉冲放大器运输方程
\begin{cases} \frac{\partial J(z,t)}{\partial t}+v\frac{\partial J(z,t)}{\partial z}=v\sigma_{21}\Delta n(z,t)J(z,t)-\alpha\nu J(z,t)\\ \frac{\partial \Delta n(z,t)}{\partial t}=-2\sigma_{21}\Delta n(z,t)J(z,t) \end{cases}\\同理，四能级 行波脉冲放大器运输方程
\begin{cases} \frac{\partial J(z,t)}{\partial t}+\nu\frac{\partial J(z,t)}{\partial z}=\nu\sigma_{21}\Delta n(z,t)J(z,t)-\alpha\nu J(z,t)\\ \frac{\partial \Delta n(z,t)}{\partial t}=-\sigma_{21}\Delta n(z,t)J(z,t) \end{cases}\\ 运输方程满足边界条件
\begin{cases} J(0,t)=J_0(t)\\ \Delta n(z,t<0)=\Delta n^0\;(o\leq z \leq l) \end{cases}\\ 脉冲放大器能量增益定义为
G_E=\frac{E_l}{E_0}=\frac{J(l)}{J(0)}\\以三能级系统为例， 选取足够长的时间下（远大于脉冲宽度）运输方程两端对时间积分并代入边界方程后有
\frac{dJ(z)}{dz}=\frac{1}{2}[1-e^{-2\sigma_{21}J(z)}]\Delta n^0-\alpha J(z)\\ 为光子流强度的稳态解。小信号时能量增益为
G_E=e^{(\sigma_{21}\Delta n^0-\alpha)l}\\ 强信号时能量增益为
G_E=\frac{\Delta n^0}{2\alpha J(0)}(1-e^{-\alpha l})+e^{-\alpha l}\\
当 l 逐渐增大时，增益趋于饱和。
若放大器尚未处于稳态，光子流强度有非稳态解
J(z,t)=\frac{J_0(t-\frac{z}{v})}{1+\exp(-\sigma_{21}\Delta n^0z-1)\exp(-2\sigma_{21}\int^{t-\frac{z}{v}}_{-\infty}J_0(t)dt)}\\
此时功率增益 G_p(t)=\frac{J(l,t+\frac{l}{v})}{J_0(t)}\\取决于脉冲的具体形式。
放大自发辐射是一种增益物质产生荧光及振荡激光的过渡状态，其在增益物质中的强度变化如图所示。
自发辐射仅在一定方向角内放大输出，具有方向性，辐射强度为
I(\nu,z)=\frac{2\bar{\Delta\Omega}h\nu_0^3n_2^0}{\nu^2\Delta n^0}[e^{g^0(\nu)z}-1]\\
其中 \bar{\Delta\Omega} 为辐射的发散角。
光腰 w_0 的基模发散角为 \theta_0=\frac{2\lambda}{\pi w_0} ，故在立体角
\Delta\Omega=\pi(\frac{\theta_0}{2})^2=\frac{\lambda^2}{\pi w_0^2}\\
内有自发辐射产生噪声输出。注入光束在 \nu 附近的自发辐射功率为为 P_{ASE} ，有
\frac{dP_{ASE}(z)}{dz}=g(\nu)P_{ASE}(z)+2h\nu\sigma_{21}(\nu,\nu_0)n_2\delta\nu\\
可定义自发辐射因子
n_{sp}=\frac{P_{ASE}(l)}{2h\nu\delta\nu(G-1)}\\ 来表征噪声功率谱及放大器的噪声指数。