分式分解总结 第1篇
将各项通分合并, 将分子与原式的分子做系数比对, 写出关于待定系数的方程, 进行求解
形如 \frac{P(x)}{\prod\limits_{i=1}^{n}(a_ix+b_i)}
(1) 列出等式:
\frac{P(x)}{(a_1x+b_1)(a_2x+b_2)...(a_nx+b_n)} = \frac{A_1}{(a_1x+b_1)} + \frac{A_2}{(a_2x+b_2)} +... +\frac{A_n}{(a_nx+b_n)}
(2) 两边同时乘以 (a_ix+b_i)
\frac{P(x)(a_1x+b_1)}{(a_1x+b_1)(a_2x+b_2)...(a_nx+b_n)} = A_1+ \frac{A_2(a_1x+b_1)}{(a_2x+b_2)} +... +\frac{A_n(a_1x+b_1)}{(a_nx+b_n)}
A_1=\frac{P(x)}{(a_2x+b_2)...(a_nx+b_n)} - \frac{A_2(a_1x+b_1)}{(a_2x+b_2)} +... +\frac{A_n(a_1x+b_1)}{(a_nx+b_n)}
(3)令 a_1x+b_1=0 , 化xxx求出 A_i .
A_1=\frac{P(x=-\frac{b_1}{a_1})}{(a_2\frac{-b_1}{a_1}+b_2)...(a_n\frac{-b_1}{a_1}+b_n)}
例如分解 \frac{1}{(x-a)(x-b)(x-c)}
\frac{1}{(x-a)(x-b)(x-c)} = \frac{A_1}{x-a} + \frac{A_2}{x-b} + \frac{A_3}{x-c}
\frac{1}{(x-b)(x-c)} = A_1 + \frac{A_2(x-a)}{x-b} + \frac{A_3(x-a)}{x-c}
令 x-a=0\Longrightarrow x =a
A_1=\frac{1}{(a-b)(a-c)}
同理可得
A_2=\frac{1}{(b-a)(b-c)},A_3=\frac{1}{(c-a)(c-b)}
\frac{1}{(x-a)(x-b)(x-c)} = \frac{1}{(a-b)(a-c)(x-a)}+ \frac{1}{(b-a)(b-c)(x-b)}\\+ \frac{1}{(c-a)(c-b)(x-c)}
形如 \frac{P(x)}{(ax+b)^n}
(1) 设 \frac{P(x)}{(ax+b)^n} = \frac{A_1}{(ax+b)} + \frac{A_2}{(ax+b)^2}+...+\frac{A_n}{(ax+b)^n}
(2) 两边同时乘以 (ax+b)^n 得:
P(x)= A_1(ax+b)^{n-1} + A_2(ax+b)^{n-2} + ... + A_n
(3) 分别对等式两边求 (n-1), (n-2), .., 1, 0 阶导(即把 A_i 旁边的多项式导成常数)
(4) 令 ax+b=0\Longrightarrow x=-\frac{b}{a} , 这样没有导成常数的多项式均为0
(5)最后进行化简, 得出结果即为所求.
\frac{x^5+x^4+x-1}{(x-1)^6} \\ = \frac{A_1}{x-1}+\frac{A_2}{(x-1)^2}+\frac{A_3}{(x-1)^3}+\frac{A_4}{(x-1)^4}+\frac{A_5}{(x-1)^5}+\frac{A_6}{(x-1)^6}
x^5+x^4+x-1= A_1(x-1)^5 + A_2(x-1)^4 + A_3(x-1)^3\\ + A_4(x-1)^2 + A_5(x-1) + A_6
令 x-1 = 0\Longrightarrow x =1
对等式两边求5阶导:
5!=5!A_1\Longrightarrow A_1=1
对等式两边求4阶导:
5\cdot4\cdot3\cdot2x + 4!= A_1\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2(x-1) +4! A_2 , 带入 x=1 得 A_2=6
对等式两边求3阶导:
5\cdot4\cdot3x^2+4\cdot3\cdot2x=5\cdot4\cdot3(x-1)^2A_1+4\cdot3\cdot2(x-1)A_2 + 3!A_3
带入 x=1 得 A_3=14
一次类推, xxx:
\frac{x^5+x^4+x-1}{(x-1)^6} \\ = \frac{1}{x-1}+\frac{6}{(x-1)^2}+\frac{14}{(x-1)^3}+\frac{16}{(x-1)^4}+\frac{10}{(x-1)^5}+\frac{2}{(x-1)^6}
形如 \frac{P(x)}{\prod\limits_{i=1}^{n}(a_ix^2+b_ix+c_i)} 或 \frac{P(x)}{\prod\limits_{i=1}^{n}(a_ix^2+b_ix+c_i)\prod\limits_{j=1}^m(a_jx+b_j)}
与实根带入法步骤一致, 只是二次式可能出现的根是复数.
出现复数后, 将等式化为关于复数 i 的等式:
P(x) = Ax+B 带入它的解 \alpha i+\beta : 类似于
\alpha i + \beta = iA +iB +\varphi A +\phi B + \xi\Longrightarrow\\ (A+B-\alpha)i + \varphi A+ \phi B+ \xi= \beta
\alpha,\beta, \varphi,\phi, \xi 为已知的常数
令 A+B-\alpha = 0 获得等式(1)
\varphi A+ \phi B+ \xi= \beta 获得等式(2)
两个未知量, 两个等式, 可以解出
总的来说就是分别合并虚数部分和实数部分, 令虚数=0, 即可获得两个等式.
例: \frac{1}{(1+2x)(1+x^2)}
(1) 设 \frac{1}{(1+2x)(1+x^2)} = \frac{A_1}{2x+1}+\frac{A_2x+B_2}{x^2+1}
(2) 乘以因式 (1+2x) : \frac{1}{(1+x^2)} = A_1+\frac{A_2x+B_2}{x^2+1}(2x+1)
(3) 令 2x+1=0\Longrightarrow x=-\frac{1}{2}
\frac{1}{(1+\frac{1}{4})} =A_1
A_1=\frac{4}{5}
等式两边乘以 x^2+1
\frac{1}{(1+2x)} = \frac{A_1}{2x+1}(1+x^2)+(A_2x+B_2)
令 x^2+1=0\Longrightarrow x=i (取其一即可)
\frac{1}{(1+ 2i)} =(iA_2+B_2)
iA_2-2A_2+B_2+2iB_2=1 \Rightarrow(A_2+2B_2)i+(B_2-2A_2)=1
A_2+2B_2=0
B_2-2A_2=1
xxx:
A_2=-\frac{2}{5}\\ B_2=\frac{1}{5}
\frac{1}{(1+2x)(1+x^2)} = \frac{\frac{4}{5}}{2x+1}+\frac{-\frac{2}{5}x+\frac{1}{5}}{x^2+1}
=\frac{1}{5}(\frac{4}{2x+1}+\frac{-2x+1}{x^2+1})
形如 \frac{P(x)}{(a_1x+b_1)^2(a_2x^2+b_2x+c_2)^2} , \frac{P(x)}{(a_1x+b_1)(a_2x^2+b_2x+c_2)^2} , \frac{P(x)}{(a_1x+b_1)^2(a_2x^2+b_2x+c_2)}
只能用于二重因式分解出的「幂为1」的因式部分:
\frac{P(x)}{(ax+b)^2} = \frac{A}{(ax+b)} + \frac{B}{(ax+b)^2} 只能用于 \frac{A}{(ax+b)} 的求解
\frac{P(x)}{(ax^2+bx+c)^2} = \frac{A_1x+B_1}{(ax^2+bx+c)} + \frac{A_2x+B_2}{(ax^2+bx+c)^2} 只能用于 \frac{A_1x+B_1}{(ax^2+bx+c)} 的求解.
(1) 使用实根、复根法求出无重因式,多重因式的二次幂项, 剩下二重因式的一次幂因式.
(2) 等式两边乘以 x 的某次幂, 使得未分解式的分子分母的最高次幂同阶,趋于无穷的极限为非零常数.
(3)解方程.
(4)若为二次式, 待定系数为 Ax+B 的, 只能求出 A , 之后将已知的系数全部带入原式, 再令 x 为一个方便运算的常数, 解出方程即可得到B.
分解 \frac{4x^2-6x-1}{(x+1)(2x-1)^2}
\frac{4x^2-6x-1}{(x+1)(2x-1)^2} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{2x-1}+\frac{C}{(2x-1)^2}
(1) 等式两边乘以 (x+1) 且令 x+1=0 ,得 A=1
(2) 等式两边乘以 (2x-1)^2 且令 (2x-1)^2=0 ,得 C=-2
\frac{4x^2-6x-1}{(x+1)(2x-1)^2}=\frac{1}{x+1}+\frac{B}{2x-1}+\frac{-2}{(2x-1)^2}
(3) 等式两边同时乘以 x ,使左边分子分母最 x 的最高次同阶, 并取极限
\lim\limits_{x\to\infty}x\frac{4x^2-6x-1}{(x+1)(2x-1)^2}=\lim\limits_{x\to\infty}[\frac{x}{x+1}+\frac{Bx}{2x-1}+\frac{-2x}{(2x-1)^2}]
1=1+\frac{B}{2}+0\Longrightarrow B=0
\frac{4x^2-6x-1}{(x+1)(2x-1)^2}=\frac{1}{x+1}+\frac{-2}{(2x-1)^2}
分式分解总结 第2篇
因为拆分结构每一项都应该是真分式，所以得到拆分结构后，预设每一项的分子比该项的分母内层（不考虑x所在的多项式整体的幂次数）未知数的最高次幂低一级。以这个原则对分子进行构造。（实际上最后得到的结果可能会低很多级）
例：
①比x一次项还低一级就是常数项了，所以构造两个“待定”分别为常数
②得：
分式分解总结 第3篇
法一.通分法：
例：
解：
得方程组：
易得：
例：
解：
得方程组：
易得：
例：
解：
得方程组：
易得：
在结构拆解正确的情况下，使用通分法求未知数是比较稳妥的选择。但若项数过多或原分式分母次幂较高，计算会稍显繁琐。
法二.极限法：
例：
解：
操作方法是用各项未知数对应的分母去乘原方程，未知数的极限值取让该分母为0的值。这个方法可以很快获取对应分母为一次幂的未知数的值，尤其是项数特别多的时候。
但它对二次幂以上的分母就不太奏效了。
例：
解：
因为分母都是最简的，所以二次幂及以上在实数范围内无解。非要用这个方法的话，需要引入复数：
由xxx定理：
随便代入一个值就可以建立a、b的复平面方程。
解法①：代入
得方程：
整理得：
得方程组：
易得：
解法②：代入
得方程：
整理得：
得方程组：
易得：
对于存在多项式的幂次的原分式分母，该方法也不适用。因为取这个多项式为0，整个分母也会为0。
例：
解：
b、 c 同理无法用此方法xxx。
法三.带值法：
例：
解：取两个（两个未知数）让该方程能正常运算的值（分母不为0）
联立两个方程易得：
例：
解法①：取三个（三个未知数）让该方程能正常运算的值（分母不为0）
联立三个方程易得：
如果通过极限法先解出c的值，可以少一个未知数，之后计算会简单许多：
解法②：先用极限法解分母为一次幂的项
代入原方程后，再用带值法解剩余的二次幂及以上的项
例：
解：取三个（三个未知数）让该方程能正常运算的值（分母不为0）
联立三个方程易得计算得：
1. 拆分有三个步骤：
- 因式分解分母直至最简，写出拆分后的结构。
- 根据分母内层最高次幂构造每项的分子。
- 求构造分子时所设的未知数。
2. 求分子的未知数有三个方法：
- 通分法：最常用，最稳妥。适合项数少、幂次低的情况。
- 极限法：特别适用于项数多、一次幂的情况。不适用于分母存在多项式内未知数最高次大于二、多项式整体二次幂以上的情况。
- 取值法：单独使用计算稍繁琐，但适用于极限法应对不了的情况，常与极限法一起使用。
参考资料：
_en_%C3%A9l%C3%A9ments_simples