面面角总结 第1篇
如上图，直线与平面的夹角为 \phi ，但是这个角不好算，但直线与平面法线xxx的夹角是好算的，根据上述线线角的求法就知道了。
又因为 \theta+\phi=90^o
cos\theta=cos(90^o-\phi)=sin\phi
所以 sin\phi=\cos \theta=\frac{|\vec{n} \cdot \vec{d}|}{\left|\vec{n}\right|\left|\vec{d}\right|}
因此， \phi=\arcsin(\frac{|\vec{n} \cdot \vec{d}|}{\left|\vec{n}\right|\left|\vec{d}\right|}) , \phi\in[0^o,90^o] 。
面面角总结 第2篇
计算两条直线xxx夹角，只需要知道两条直线的方向向量，
根据向量点乘可知： \cos \theta=\frac{\vec{b}_{1} \cdot \vec{b}_{2}}{\left|\vec{b}_{1}\right|\left|\vec{b}_{2}\right|}
而两条直线xxx的夹角范围是 [0^o,90^o] ,所以 cos\theta>0 ,
因此， \cos \theta=\frac{|\vec{b}_{1} \cdot \vec{b}_{2}|}{\left|\vec{b}_{1}\right|\left|\vec{b}_{2}\right|} (加绝对值了！)。
再根据反三角函数就能得到两条直线的夹角:
\theta=\arccos(\frac{|\vec{b}_{1} \cdot \vec{b}_{2}|}{\left|\vec{b}_{1}\right|\left|\vec{b}_{2}\right|})，\theta\in[0^o,90^o] 。
面面角总结 第3篇
与线线角、线面角类似，我们定义两平面的夹角为xxx角中较小的角。通过上图，可以很清楚的看到两个平面法向量xxx的夹角就等于两平面xxx的夹角。
于是， \cos \theta=\frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{\left|\vec{n_1}\right|\left|\vec{n_2}\right|} ,
\theta=\arccos(\frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{\left|\vec{n_1}\right|\left|\vec{n_2}\right|}),\theta\in[0^o,90^o] 。
注：国内高中教材二面角取值范围为 \theta\in[0^\circ,180^\circ] ,但是IB教材是 \theta\in[0^o,90^o]
这里可以看一道2014年IB五月真考Paper1第12题：
（a）根据直线 L_1 过AB两点可知 \boxed{\left(\begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {z}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}{1} \\ {0} \\ {4}\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}{1} \\ {3} \\ {-5}\end{array}\right)} 。
（b）L_2：\left(\begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {z}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{1} \\ {-2} \\ {1}\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}{3} \\ {1} \\ {-2}\end{array}\right) 。因为 \left(\begin{array}{c}{1} \\ {3} \\ {-5}\end{array}\right)\neq \lambda \left(\begin{array}{c}{3} \\ {1} \\ {-2}\end{array}\right) 所以 L_1,L_2 不平行。又因为不存在 t,s 使得 \begin{array}{l}{1+t=1+3s} \\ {3t=-2+s} \\ {4-5t=1-2s}\end{array} 方程组成立，所以 L_1,L_2 不存在交点，故异面。
（c）平面 \Pi_2 的法向量为： \vec{n}=\left(\begin{array}{l}{1} \\ {1} \\ {0}\end{array}\right) ， L_3 的方向向量为 \vec{d}=\left(\begin{array}{c}{k} \\ {1} \\ {-1}\end{array}\right) ,根据直线与平面夹角计算公式：sin60^o=\frac{|\vec{n} \cdot \vec{d}|}{\left|\vec{n}\right|\left|\vec{d}\right|}=\frac{|k+1|}{\sqrt{2}\sqrt{k^2+2}} ,
两边平方化简后可得： k^2-4k+4=0 ,因此 \boxed{k=2} 。
所以， L_3:\left(\begin{array}{l}{x} \\ {y} \\ {z}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}{3} \\ {0} \\ {1}\end{array}\right)+\lambda\left(\begin{array}{c}{2} \\ {1} \\ {-1}\end{array}\right) 。
要求直线与平面的交点则联立方程：
x+y=3+2\lambda+\lambda=12 , \lambda=3 ,
因此交点为： \boxed{\left(\begin{array}{c}{9} \\ {3} \\ {-2}\end{array}\right)}
上题就是IB大考真题，可以发现考点就是这些，只要我们把前面基础知识搞懂了也不是很难呀。关于线线角、线面角以及面面角，我们忘记公式了不要紧，只需要画图就一目了然了。
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