高数知识总结 第1篇
(一)导数第一定义
设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个领域内有定义，当自变量 x 在 x0 处有增量 △x ( x0 + △x 也在该邻域内 ) 时，相应地函数取得增量 △y = f(x0 + △x) - f(x0) ;如果 △y 与 △x 之比当 △x→0 时极限存在，则称函数 y = f(x) 在点 x0 处可导，并称这个极限值为函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数记为 f(x0) ,即导数第一定义
(二)导数第二定义
设函数 y = f(x) 在点 x0 的某个领域内有定义，当自变量 x 在 x0 处有变化 △x ( x - x0 也在该邻域内 ) 时，相应地函数变化 △y = f(x) - f(x0) ;如果 △y 与 △x 之比当 △x→0 时极限存在，则称函数 y = f(x) 在点 x0 处可导，并称这个极限值为函数 y = f(x) 在点 x0 处的导数记为 f(x0) ,即 导数第二定义
(三)导函数与导数
如果函数 y = f(x) 在开区间 I 内每一点都可导，就称函数f(x)在区间 I 内可导。这时函数 y = f(x) 对于区间 I 内的每一个确定的 x 值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数 y = f(x) 的导函数，记作 y, f(x), dy/dx, df(x)/dx。导函数简称导数。
(四)单调性及其应用
1.利用导数研究多项式函数单调性的一般步骤
(1)求f(x)
(2)确定f(x)在(a，b)内符号 (3)若f(x)>0在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是增函数;若f(x)<0在(a，b)上恒成立，则f(x)在(a，b)上是减函数
2.用导数求多项式函数单调区间的一般步骤
(1)求f(x)
(2)f(x)>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间; f(x)<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间
学习了导数基础知识点，接下来可以学习高二数学中涉及到的导数应用的部分。
高数知识总结 第2篇
\sin \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)] \\ \cos \alpha \sin \beta=\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)] \\ \cos \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}[\cos (\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)] \\ \sin \alpha \sin \beta=-\frac{1}{2}[\cos (\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)]
高数知识总结 第3篇
基本求导公式：
(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha -1} ,\quad (a^x)'=a^xlna，\quad (e^x)'=e^x，\quad (log_ax)'=\frac{1}{xlna} ，\quad (lnx)'=\frac{1}{x}\\ (sinx)'=cosx，\quad (cosx)'=-sinx，\quad (arcsinx)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} ，\quad (arccosx)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ (tanx)'=sec^2x ，\quad (cotx)'=-csc^2x ，\quad (arctanx)'=\frac{1}{1+x^2} ，\quad (arccotx)'=-\frac{1}{1+x^2} \\ (secx)'=secxtanx ，\quad (cscx)'=-cscxcotx
特殊求导：
(ln|x|)'=\frac{1}{x} \qquad ln|x|求导可视绝对值而不见
(e^x+e^{-x})''=e^x+e^{-x}
[ln(x+\sqrt{a^2+x^2})]'=\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}} \quad （ln(x+\sqrt{1+x^2})为奇函数）
导数定义
f'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}{\frac{f(x+ \Delta x)-f(x)}{\Delta x}}
f'(a)=\lim_{x \rightarrow a}{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}
\Delta y=A \Delta x+o(\Delta x) \qquad （线性主部：A\Delta x=dy=y'_x\Delta x）
高阶求导公式
(e^{ax+b})^{(n)}=a^ne^{ax+b}
[sin(ax+b)]^{(n)}=a^nsin(ax+b+\frac{n}{2}\pi)
[cos(ax+b)]^{(n)}=a^ncos(ax+b+\frac{n}{2}\pi)
[ln(ax+b)]^{(n)}=(-1)^{n-1}a^n\frac{(n-1)!}{(ax+b)^n}
(\frac{1}{a+bx})^{(n)}=(-1)^nb^n\frac{n!}{(a+bx)^{n+1}}
(\frac{1}{a-bx})^{(n)}=b^n\frac{n!}{(a-bx)^{n+1}}
子孙三代的关系
\int_0^xf(x)dx\longleftarrow \quad f(x) \longrightarrow \quad f'(x)\\ \qquad 奇\stackrel{①}{\longleftarrow} \quad偶 \quad \longrightarrow \quad 奇\\ \qquad 偶\longleftarrow \quad 奇 \quad \longrightarrow \quad 偶\\ \qquad T \stackrel{②}{\longleftarrow} \quad T \quad \longrightarrow \quad T\\
带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式
f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+ \cdots +\frac{1}{n!}f^{(n)}(\xi)(x-x_0)^n \quad （\xi介于x,x_0之间）
其他结论
\begin{align} 1、g(x)在a处连续,若f(x)=|x-a|g(x)在x=a处可导，则g(a)=0\\\\ \end{align}
\begin{align} 2、&若f(x)在x=0处连续，且\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{f(x)}{x}}=A\\ &则：①\quad f(0)=0。\qquad ②\quad f'(0)=A。\\ \end{align}
\begin{align} 3、&不定积分存在定理\\ &①\quad f(x)在区间I上连续\longrightarrow f(x)在I上有原函数。\\&②\quad f(x)在区间上有第一类间断点、无穷间断点\longrightarrow f(x)在I上不存在原函数。 \end{align}
高数知识总结 第4篇
一、平面的基本性质与推论
1、平面的基本性质：
公理1如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内；
公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；
公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
2、空间点、直线、平面之间的位置关系：
直线与直线—平行、相交、异面；
直线与平面—平行、相交、直线属于该平面（线在面内，最易忽视）；
平面与平面—平行、相交。
3、异面直线：
平面外一点A与平面一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线（判定）；
xxx的角范围（0，90）度（平移法，作平行线相交得到夹角或其补角）；
两条直线不是异面直线，则两条直线平行或相交（反证）；
异面直线不同在任何一个平面内。
求异面直线xxx的角：平移法，把异面问题转化为相交直线的夹角
二、空间中的平行关系
1、直线与平面平行（核心）
定义：直线和平面没有公共点
判定：不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，则该直线平行于此平面（由线线平行得出）
性质：一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条直线就和两平面的交线平行
2、平面与平面平行
定义：两个平面没有公共点
判定：一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，则这两个平面平行
性质：两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面；如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
3、常利用三角形中位线、平行四边形对边、已知直线作一平面找其交线
三、空间中的垂直关系
1、直线与平面垂直
定义：直线与平面内任意一条直线都垂直
判定：如果一条直线与一个平面内的两条相交的直线都垂直，则该直线与此平面垂直
性质：垂直于同一直线的两平面平行
推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面
直线和平面xxx的角：【0，90】度，平面内的一条斜线和它在平面内的射影说成的锐角，特别规定垂直90度，在平面内或者平行0度
2、平面与平面垂直
定义：两个平面xxx的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角（二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线xxx的角）
判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
性质：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
高数知识总结 第5篇
泰勒公式
sinx=x-\frac{x^3}{3!}+o(x^3) \qquad arcsinx=x+\frac{x^3}{3!}+o(x^3)\\ tanx=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3) \qquad arctanx=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)\\cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+o(x^4) \qquad (1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha -1)}{2!}x^2+o(x^2)\\ e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+o(x^3) \qquad ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)\\
xxx林公式
\begin{align*} &e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)\\ &\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)\\ &\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}=1-\frac{1}{2}x^2+o(x^2)\\ &\ln(1+x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+1}x^{n+1}=x-\frac{1}{2}x^2+o(x^2)\\ &(1+x)^\alpha=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+o(x^2)\\ &\arctan x=x-\frac{1}{3}x^3+o(x^3)\\ &\tan x=x+\frac{1}{3}x^3+o(x^3)\\ &\arcsin x=x+\frac{1}{6}x^3+o(x^3) \end{align*}
常用等价无穷小
sinx\sim tanx \sim arcsinx \sim arctanx \sim x\\ x-sinx \sim \frac{1}{6}x^3 \qquad x-arcsinx \sim -\frac{1}{6}x^3\\ x-tanx \sim -\frac{1}{3}x^3 \qquad x-arctanx \sim \frac{1}{3}x^3\\ 1-cosx \sim \frac{1}{2}x^2 \qquad (1-cos^ax \sim \frac{a}{2}x^2)\\ a^x-1 \sim xlna \qquad (1+x)^a -1 \sim ax\\ e^x-1 \sim x \qquad ln(1+x) \sim x\\
注： 型如1^∞ \quad即 I=\lim{g(x)^{f(x)}} \\ 若g(x)\rightarrow1,f(x)\rightarrow ∞\\ 则令A={\lim{f(x)[g(x)-1]}} \\ I=e^A
比阶：
\begin{align} &若x\rightarrow 0时，f(x)和g(x)分别是x的m、n阶无穷小,则：\\ &1、f(x)g(x)是x的m+n阶无穷小\\ &2、若m>n，\frac{f(x)}{g(x)}是x的m-n阶无穷小\\ &3、m>n时，f(x)\pm g(x)是x的n阶无穷小；\\ &4、m=n时，f(x)\pm g(x)是x的n阶\color{red}或 xxx阶无穷小；\\ &5、\int_0^{g(x)}{f(t)}dt是x的(m+1)\cdot n阶无穷小 \end{align}
增长速度：
x\rightarrow ∞ 时， a
洛必达易错点：
\begin{align} 1、&对\frac{0}{0}、\frac{∞}{∞}型可使用洛必达，若结果不存在，则洛必达失效，应使用其他方法。\\\\ 2、&若f(x)在x=0处无定义，如f(x)=\frac{1}{x} ,则对\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{\int_0^xf(t)dt}{x}}不能使用洛必达\\ &原因：对变限积分\int_a^xf(t)dt求导的前提：在[a,x]内连续\\\\ 3、&f(x)在某处存在二阶导数\nRightarrow f(x)二阶导数连续\\ &即对于\lim_{x \rightarrow 0}{\frac{f'(x)}{x}}不能使用洛必达\\\\ \end{align}
其他结论：
1、 \left\{ \begin{aligned} &\lim_{n \rightarrow +\infty}{\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+\cdots+a_m^n}}=max\{a_1,a_2\cdots,a_m\} \\ &\lim_{n \rightarrow -\infty}{\sqrt[n]{a_1^n+a_2^n+\cdots+a_m^n}}=min\{a_1,a_2\cdots,a_m\} \end{aligned} \right. （a_1\dots a_m都是非负数）
2、\int_0^{+\infty} e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}
3、\lim_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[n]{a}=1} \qquad (a>0)
高数知识总结 第6篇
对称性
①普通对称性：
\begin{align} &若D关于y=x对称，则：\\ &\iint _Df(x,y)d\sigma = \left\{ \begin{aligned} &2\iint_{D_1} f(x,y)d\sigma，&f(x,y)=f(y,x)\\ &0，&f(x,y)=-f(y,x) \end{aligned} \right. \\ (&D_1是D关于x对称的半个部分) \end{align}
②轮换对称性 ：
\begin{align} &若将D中x,y对调后，D不变，则有则：\\ &I=\iint _Df(x,y)d\sigma=\iint _Df(y,x)d\sigma \end{align}